12.05. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Понятие дифференциала подсказывает, что если какой-Либо процесс по характеру своего изменения близок к линейному, то приращение функции мало отличается от дифференциала. Кроме того, если функция имеет конечную производную в некоторой точке х, то ее приращение и дифференциал также бесконечно малы при , стремящемся к нулю:

,

Так как дифференцируемая функция непрерывна,

Потому что произведение ограниченной функции на бесконечно малую при DX, стремящемся к нулю, есть функция бесконечно малая.

Более того, эти две бесконечно малые функции при эквивалентны:

Эквивалентность и дает возможность при малых приращениях аргумента приближенно считать

Или

Что может дать эта формула? Пусть в некоторой точке сравнительно просто вычисляются значения и . Тогда в другой точке , отстоящей недалеко от , возможно представление :

(11. 16)

Здесь остается открытым вопрос о точности получаемого результата. Это обстоятельство снижает ценность данной формулы приближенного вычисления, но в основном она полезна и широко применяется на практике.

Рассмотрим пример. В прямоугольном треугольнике катеты a=5 м и b=12 м. Какой будет гипотенуза этого треугольника, если катет a уменьшить на 0,2 м (рис. 11.5, a)?

Найдем первоначальную длину гипотенузы:

.

После уменьшения катета a на 0,2 м гипотенуза будет равна (рис. 11.5, a)

Применим теперь формулу (11.16) для приближенного нахождения с в связи с уменьшением катета a, рассматривая функцию вида:

(B=Const);

;

В обоих случаях мы получили приближенное значение искомой величины. Но в первом случае погрешность возникает в результате приближенных вычислений, а во втором, сравнительно более простом, – В связи с применением приближенной формулы (к ней также может добавиться погрешность, вызванная приближенными вычислениями). Отметим, что при уменьшении катета a На 0,2 м гипотенуза с уменьшилась примерно на 0,08 м, а полученные нами приближенные значения при этом отличаются лишь на 0,001 м.

Рассмотрим другую ситуацию: в этом же треугольнике уменьшим гипотенузу с на 0,2 м, оставив катет b без изменения (рис. 11.5, б). Определим, как в этом случае изменится катет A:

< Предыдущая		Следующая >