10.1. Понятие непрерывной функции

Рассмотрим понятие предела функции в случае, когда определена не только в окрестности предельной точки a, но и в самой точке a.

Будем говорить, что функция НЕПРЕРЫВНА в точке a, если она имеет предел при x, стремящемся к a, совпадающий со значением функции в этой точке:

Тaк как функция сейчас определена в точке a, то можно ввести в рассмотрение разность

Называемую ПРИРАЩЕНИЕМ АРГУМЕНТА, и другую разность

,

Называемую ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ.

Тогда определение непрерывности можно переписать так:

Можно ли в определении непрерывности функции строгие неравенства заменить на нестрогие?

Иными словами, функция непрерывна в точке a, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Непрерывность многих процессов реального мира воспринималась учеными древности с трудом, а иногда и вовсе неправильно, что породило различные парадоксы.

...И для человеческого ума непонятна абсолютная непрерывность движения, человеку становятся понятны законы какого бы то ни было движения только тогда, когда он рассматривает произвольно взятые единицы этого движения. Но, вместе с тем, из этого-то произвольного деления непрерывного движения на прерывные единицы проистекает большая часть человеческих заблуждений. Л. Н. Толстой “Война и мир”

Из Древней Греции пришел к нам софизм – Заведомо ложно доказанное утверждение – О том, как Ахиллес, идущий в десять раз быстрее черепахи, никогда не догонит ее. Действительно, как только он пройдет расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди него одну десятую этого пути. Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха – одну сотую, и так далее до бесконечности. Таким образом, он никогда не догонит черепаху. В данном случае парадокс стал возможным потому, что произвольно допускаются прерывные скачки движения. Принимая все более мелкие единицы движения, мы только приближаемся к решению вопроса, но никогда не достигаем его.

В математическом анализе доказывается важное утверждение.

ТЕОРЕМА. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке ее области определения.

Эту теорему мы приведем без доказательства.

Данной теоремой мы активно пользуемся при вычислении пределов.

Для непрерывной функции имеет место важное положение:

То есть можно переходить к пределу под знаком функции. Этим мы и воспользовались при рассмотрении применения второго замечательного предела к раскрытию неопределенностей .

Непрерывные функции являются подмножеством функций, имеющих предел, поэтому на них распространяются все теоремы о пределах.

В частности, если две функции и определены в области X и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны также функции , .

В качестве примера докажем непрерывность некоторых функций. Так функции и непрерывны на множестве действительных чисел:

Отсюда

А поэтому

Или другой пример. Докажем, что функция непрерывна в R. Для этого задаем и будем искать такое , чтобы для X из промежутка выполнялось неравенство . Имеем:

Докажите непрерывность тригонометрических функций , и

Следовательно, в качестве можно взять .

Для непрерывных функций имеют место следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1 (О НЕПРЕРЫВНОСТИ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ). Если функция непрерывна на множестве X, а функция , имеющая множество значений , совпадающее с множеством X, непрерывна на множестве T, то сложная функция

Непрерывна на множестве T.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Справедлива ли для данной теоремы обратная?

Возьмем произвольное и дадим ему приращение такое, что t + Dt Î T. Тогда соответствующее значение функции получит приращение , что, в свою очередь, вызовет приращение функции , равное , в соответствующей точке Y. Если устремить к нулю, то также устремится к нулю в силу непрерывности функции . При , стремящемся к нулю, и устремится к нулю в силу непрерывности , а это означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть сложная функция непрерывна на множестве T, что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2. Если определена, непрерывна и строго монотонна на множестве X, а Y – множество ее значений, то на множестве Y существует обратная функция строго монотонная и непрерывная.

Эту теорему мы приведем без доказательства.

< Предыдущая		Следующая >