09.5. Эквивалентные функции

В тех случаях, когда функциональная зависимость имеет довольно сложный вид, возникают большие трудности при изучении ее свойств. Простой просчет значений функции на ЭВМ порой может оказаться неосуществимым, так как даже современные ЭВМ допускают значительные погрешности в расчетах с очень большими или же малыми числами. Мы рассмотрим весьма интересный подход к изучению функциональных зависимостей, основанный на их замене более простыми функциями в окрестности некоторых предельных точек.

Будем говорить, что функции и ЭКВИВАЛЕНТНЫ в окрестности предельной точки (конечной или бесконечной), если найдется такая функция в окрестности этой предельной точки, что

,

Где

Очевидно, новое определение обобщает данное ранее для бесконечно малых функций.

Данное условие не является необходимым. Проиллюстрируйте это примером. Докажите эту теорему.

Теорема. Для эквивалентности функций и при достаточно, чтобы предел их отношения при был равен единице:

Рассмотрим пример. Пусть

Тогда

А так как

То в качестве функции, эквивалентной данной при , может быть взята

Действительно .

Найдем, для каких x эквивалентная функция будет отличаться от данной менее чем на :

(9. 35)

Можно провести вычислительный эксперимент и достаточно точно определить, с каких x более сложную функцию

Допустимо заменить более простой

Сделаем приближенную оценку этих значений x, усиливая рассматриваемое неравенство (9.35):

Значения x, соответствующие неравенству

Тем более будет удовлетворять неравенству (9.35).

Поэтому искомые значения х определяются неравенством:

Положим, к примеру, что . Тогда

Это означает, что для x > 2,43 и x < –2,43 данная функция будет отличаться по абсолютной величине от функции менее чем на 0,002.

Может показаться, что в качестве функции, эквивалентной данной, для достаточно больших по модулю x можно взять функцию

Она действительно проще, чем . Однако при той же абсолютной погрешности E, заменив более сложную функцию на такую простую функцию как , мы получим, что неравенство

Путем аналогичных рассуждений

Дает допустимый диапазон значений x:

Если принять то же значение , то для и значения данной функции можно полагать равными нулю. Как видим, при заданной абсолютной погрешности диапазон допустимых значений меняется. Выигрывая в простоте эквивалентной функции, мы, вместе с тем, теряем часть промежутка, на котором осуществляется упрощение.

Найдем функцию, эквивалентную данной, в окрестности предельной точки . Для этого представим иначе данную функцию:

Так как

То эквивалентная функция в окрестности нуля будет иметь вид:

Определим, при каких x, близких к нулю, функция отличается от данной по абсолютной величине менее, чем на E :

Найдем искомые значения x с некоторым “запасом”:

Будет ли лучше для отыскания необходимых значений х другая оценка

Тогда

При той же погрешности вычислений получим

Или

Рис. 9.22. Функция и ей эквивалентные.

 

На рис. 9.22 изображены данная функция и эквивалентные ей. Мы видим, что на весьма значительной части области определения функции при абсолютной погрешности расчета можно использовать на практике более простые функциональные зависимости.

Рассмотрим другой пример. Функция

Как несложно установить, при имеет эквивалентную:

Значения x, допускающие такую замену при абсолютной погрешности E, определяются следующим образом:

Поэтому имеем:

,

Находим с некоторым запасом требуемые значения x:

При получаем , то есть или .

Если же данную функцию непосредственно табулировать с использованием вычислительных средств, то переполнение порядка на ЭВМ для практически неизбежно, однако эта функция ведет себя, как эквивалентная ей . Отметим также, что отыскание путем вычислительного эксперимента допустимых x, упрощающих при заданной абсолютной погрешности вычисления, едва ли осуществимо в полной мере, так как этому могут воспрепятствовать вычислительные возможности ЭВМ. Следовательно, полученная аналитически оценка более значима.

< Предыдущая		Следующая >