09.4. Обобщения второго замечательного предела

Обобщения второго замечательного предела

Докажем, что

Где x Действительное число, отличное от нуля.

Рассмотрим два случая.

1. то есть х принимает положительные значения.

Очевидно, что всякое положительное действительное число x может быть заключено между двумя последовательно стоящими натуральными числами:

Тогда

Чтобы применить теорему о пределе промежуточной функции, рассмотрим пределы:

Где M = n + 1.

Следовательно, функция при имеет тот же предел, равный e.

2. Покажем, что и при

.

Сделаем замену x на –y. Тогда при :

Где .

Этим завершается доказательство приведенного выше утверждения.

3. Представим второй замечательный предел в несколько другой форме записи:

Где .

Покажем, как второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенности вида .

Пусть

Покажем, что

(9. 34)

Действительно:

.

Рассмотрим отдельно

Где .

Поэтому

Что и требовалось доказать.

Довольно часто второй замечательный предел используется для упрощения вычислений.

Рассмотрим появление такой возможности на конкретной задаче.

Предприятие, осваивая новую технологию, увеличивает ежемесячно выпуск изделий на a% от достигнутого уровня. Сколько потребуется времени, чтобы увеличить первоначальный месячный объем производства более, чем в l раз?

Пусть в первый месяц объем производства составлял А единиц продукции, тогда во второй месяц он будет , в третий и т. д. Таким образом, требуется найти номер n числовой последовательности

. . . ;

При котором

Или

Примем для определенности: и . Решая неравенство

Или

,

Находим: . Это означает, что потребуется свыше трех лет, чтобы увеличить объем производства более, чем в два раза.

Величину

Можно представить приближенно иначе, воспользовавшись вторым замечательным пределом:

При каких n расхождение между величинами и не превысит 2%, если a=2%?

Здесь мы приняли

Полагая, что величина достаточно большая. Это становится возможным благодаря использованию второго замечательного предела.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!