09.2. Числовые последовательности

Числовые последовательности

Чтобы определить место числовых последовательностей в системе основных понятий математического анализа, рассмотрим некоторые примеры. Мы встречаемся с нумерацией дней недели. Первый день – понедельник, второй – вторник и так далее, седьмой день – воскресенье. Каждому натуральному числу от 1 до 7 поставлен в соответствие день недели. Другой пример – знаменитая таблица Менделеева, в которой раскрывается связь между натуральными числами и соответствующими им химическими элементами. В настоящий момент такая связь установлена между числами от 1 до 114 соответствующими элементами.

В этих двух примерах соответствием охвачено конечное число элементов. С конечными числовыми последовательностями вы уже встречались, изучая арифметическую и геометрическую прогрессии. Рассмотрим теперь вписанные в круг правильные n–Угольники. Каждый из них имеет

свою площадь. Соответствие между натуральными числами и площадями правильных n–Угольников, вписанных в круг, связано с бесконечным числом элементов. Можно также рассмотреть соответствие между натуральными числами и их синусами. Во всех случаях, если изучаемое соответствие является отображением множества натуральных чисел на какое-либо другое, то говорят, что такое соответствие задает числовую последовательность.

Конечная числовая последовательность может быть задана непосредственным перечислением ее членов, для бесконечной последовательности такое перечисление принципиально невозможно. Мы будем в дальнейшем рассматривать свойства бесконечных последовательностей.

Таким образом, ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – это функция натурального аргумента:

Рис. 9.20. График числовой последовательности.

 

Графически числовая последовательность представляет собой совокупность изолированных точек плоскости (рис. 9.20). Такое изображение не всегда бывает удобно.

Все числовые последовательности определены на множестве натуральных чисел, поэтому в их задании используется упрощенная запись, или просто – ,. Например,

Вместо графического представления числовой последовательности, приведенного на рис. 9.20, может быть использовано изображение членов числовой последовательности точками на числовой оси. Так, например, на рис. 9.21 представлена последовательность

.

Рис. 9.21. Изображение числовой Последовательности на оси.

Часто хn и yn называют общими членами последовательностей.

Арифметическая и геометрическая прогрессии задаются формулами общего члена, соответственно:

Где а1 – первый член арифметической прогрессии, d – ее разность, b1 – первый член геометрической прогрессии, q – ее знаменатель.

Достаточно часто используется рекуррентный способ задания числовых последовательностей, состоящий в том, что n–Й член последовательности выражается через предыдущие.

Например,

А уже привычные формулы:

Являются рекуррентной формой задания соответственно арифметической и геометрической прогрессий.

Более двух тысяч лет известен алгоритм Евклида для определения наибольшего общего делителя двух целых положительных чисел A и B:

Где – положительные остатки, получающиеся в результате делений, а – неполные частные. Эти остатки тоже являются функциями натурального аргумента, а значит, числовыми последовательностями. (Напомним, что последний отличный от нуля остаток и является наибольшим общим делителем чисел A и B.)

Рекуррентный способ задания числовых последовательностей позволяет более эффективно организовать вычисления на ЭВМ, снижая погрешность результата и ускоряя сходимость вычислительных процессов.

Оправдан ли автоматический перенос всех известных свойств функций на числовые последовательности? Нет, не всегда. Оказывается, что числовые последовательности могут быть монотонными, ограниченными, неограниченными.

Но они не могут быть периодическими, четными или же нечетными.

Почему?

Почему?

Они могут при определенных условиях достигать наибольшего и наименьшего значения, но нет смысла говорить о выпуклости и вогнутости по отношению к последовательностям.

Распространим понятие предела функции на числовые последовательности. Учитывая, что в любой сколь угодно малой окрестности предельной точки, за исключением, быть может, самой предельной точки, функция должна быть определена, мы обнаруживаем, что неразумно рассматривать предел числовой последовательности, когда n конечно, например, при . Для всех числовых последовательностей можно говорить о пределе при .

Число A называется ПРЕДЕЛОМ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ при , если для любого положительного числа найдется такой номер n0, что для всех номеров будет справедливо неравенство

Иначе говоря,

Сходится ли произведение двух расходящихся числовых последовательностей?

Числовая последовательность, имеющая конечный предел, называется СХОДЯЩЕЙСЯ, в противном случае – РАСХОДЯЩЕЙСЯ.

Докажем, например, что

Расходится ли произведение двух сходящихся числовых последовательностей?

Пользуясь определением предела.

Действительно,

Рассмотрим неравенство

Но

Поэтому, если будут найдены n, удовлетворяющие неравенству

То эти n тем более удовлетворят неравенству

Получаем:

В качестве числа n0 можно выбрать натуральное число, превосходящее целую часть действительного числа .

Существует даже специальная функция

Обозначающая наибольшее целое число, не превосходящее x.

Например,

Возвращаясь к доказательству рассматриваемого утверждения, получим, что для будет справедливо неравенство

Что и требовалось доказать.

Конечно, не всегда достаточно легко можно решить соответствующее неравенство, сделать упрощающую оценку. В частности, при доказательстве существования предела

Будем иметь

.

Полученное неравенство не может быть оценено так же, как в предыдущем примере, однако сравнительно просто методом подбора на ЭВМ по конкретному E обнаруживается номер n0, начиная с которого неравенство будет выполняться. Возможно, это не достаточно строгий путь доказательства существования предела, так как целью рассуждений является определение возможности отыскания по Любому E > 0 номера n0, того “порога”, начиная с которого неравенство

Будет выполняться. Мы, однако, уже догадываемся, что при числовые последовательности

и

Не будут отличаться существенно в своем поведении. Это обстоятельство найдет у нас в дальнейшем строгое подтверждение при рассмотрении асимптотических равенств и позволит найти способ упрощения некоторых функциональных зависимостей в окрестностях предельных точек.

Рассмотренные примеры можно решить значительно легче, если применить теоремы о пределах, которые мы уже доказали для функций.

Так,

Для числовых последовательностей удалось найти достаточный признак их сходимости, который мы приведем без доказательства.

ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА. Если числовая последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она является сходящейся.

Справедливо ли утверждение: если числовая последовательность сходится, то она монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу)?

Приведите другие примеры числовых последовательностей, для которых хотя бы одно из условий теоремы Вейерштрасса не выполняется, но они имеют все-таки предел.

Достаточность этих условий состоит в том, что их вполне хватает, чтобы гарантировать сходимость числовой последовательности. Могут быть, однако, и другие сходящиеся числовые последовательности, поэтому условия теоремы не являются необходимыми.

Например, числовая последовательность

Не является монотонной, но, как легко убедиться, она сходится к нулю.

Справедлива ли теорема Вейерштрасса для функций действительного аргумента? Если да, то дайте ее формулировку для случаев, когда предельная точка конечна и бесконечна.

Семидесятилетний старец, сидя в кресле, читал лекцию, в которой было отточено каждое слово. Ему помогал студент, записывавший под диктовку необходимые формулы на доске. Зал с трудом понимал ход мысли лектора, но сосредоточенно слушал, боясь пропустить хоть одно слово. Присутствовала тысяча человек: профессора университетов и преподаватели лицеев, учащиеся и студенты, дипломаты и политики.

В цветном разноголосом Хороводе, В мелькании различий и Примет Есть люди, от которых Свет исходит, И люди, поглощающие свет. И. Губерман

Всякая ли сходящаяся числовая последовательность ограничена? Приведите примеры.

Они прибыли из десятков стран. Это была вводная лекция по математическому анализу. Ее читал в 1885 году Карл Вейерштрасс – великий ученый и добрый учитель. Он щедро делился своими идеями с теми, кому посчастливилось работать с ним. Спустя годы, сами ученики опубликовали книги об его научных достижениях, а его любимая ученица – Софья Ковалевская – вспоминала позже, что основными своими достижениями в математике и механике она обязана именно ему.

< Предыдущая		Следующая >