09.1. Вычисление пределов
Можно ли неарифметическую операцию – Предельный переход – Уподобить арифметической, имеющей место на множестве действительных чисел? Будет ли, например, предел суммы двух функций равен сумме пределов? Иными словами, можно ли, вычисляя , перейти к вычислению пределов и ? Возможно ли заменить вычисление суммы двух пределов вычислением одного: ? Ответы на данные вопросы не очевидны. Означает ли, например, что если
То
Чтобы ответить на эти и другие вопросы, связанные с вычислением пределов, докажем следующие теоремы.
ТЕОРЕМА 1. Для того, чтобы существовал
Необходимо и достаточно, чтобы в окрестности предельной точки A было выполнимо равенство
Где – бесконечно малая функция в окрестности этой предельной точки, то есть
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Данное утверждение включает в себя прямую и обратную теоремы. Докажем их.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть
.
Покажем, что в окрестности предельной точки a
Где
Действительно, так как
То отсюда следует, что
Еcть бесконечно малая функция в окрестности предельной точки a, или
,
Что и требовалось доказать.
ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть в окрестности предельной точки a функция связана с числом A соотношением
Где – бесконечно малая функция в окрестности этой предельной точки. Тогда число A есть предел при x, стремящемся к a.
Действительно, так как
Является бесконечно малой функцией в окрестности предельной точки a, то
Что и требовалось доказать.
Эта теорема имеет ключевое значение в обосновании правил вычисления пределов, которые мы сформулируем в виде теоремы.
ТЕОРЕМА 2. Если существуют пределы
, ,
То существуют и пределы
, ,
, ,
Причем справедливы соотношения :
,
, (9. 31)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Теорема 1 позволяет в окрестности предельной точки a представить функции и следующим образом:
Где и – бесконечно малые функции в окрестности этой точки. Поэтому
Где
Где
Теперь становится очевидным ответ на вопрос, можно ли все-таки считать |
Из свойств бесконечно малых функций следует, что функция , как и функции и , являются бесконечно малыми в окрестности предельной точки a, что и доказывает теорему.
Докажите, что постоянный множитель можно выносить за знак предела. |
Рис. 9.18. Нахождение площади сечения пирамиды. |
Вернемся теперь к задаче, поставленной в начале данной главы. Если помните, это была задача о вычислении площади сечения правильной четырехугольной пирамиды в предельном случае, когда A®0 (см. рис. 9.1). Выполним дополнительные построения, позволяющие найти линейные углы для соответствующих двугранных (рис. 9.18). Найдем площадь искомого сечения, являющегося трапецией.
.
Из треугольника FME по теореме синусов получим
Так как ~ , то
В треугольнике SFO находим:
Из треугольника MES получаем:
Рассмотрим предел функции при A, стремящемся к нулю:
Рис. 9.19. Предельное положение сечения пирамиды при . |
Здесь мы воспользовались эквивалентностью функций:
при .
Оказалось, что предельное значение площади в два с лишним раза меньше площади квадрата в основании пирамиды (рис. 9.19). Этот результат трудно было бы предсказать при помощи интуиции.
< Предыдущая | Следующая > |
---|