09.1. Вычисление пределов

Можно ли неарифметическую операцию Предельный переход Уподобить арифметической, имеющей место на множестве действительных чисел? Будет ли, например, предел суммы двух функций равен сумме пределов? Иными словами, можно ли, вычисляя , перейти к вычислению пределов и ? Возможно ли заменить вычисление суммы двух пределов вычислением одного: ? Ответы на данные вопросы не очевидны. Означает ли, например, что если

То

Чтобы ответить на эти и другие вопросы, связанные с вычислением пределов, докажем следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1. Для того, чтобы существовал

Необходимо и достаточно, чтобы в окрестности предельной точки A было выполнимо равенство

Где – бесконечно малая функция в окрестности этой предельной точки, то есть

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Данное утверждение включает в себя прямую и обратную теоремы. Докажем их.

НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть

.

Покажем, что в окрестности предельной точки a

Где

Действительно, так как

То отсюда следует, что

Еcть бесконечно малая функция в окрестности предельной точки a, или

,

Что и требовалось доказать.

ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть в окрестности предельной точки a функция связана с числом A соотношением

Где бесконечно малая функция в окрестности этой предельной точки. Тогда число A есть предел при x, стремящемся к a.

Действительно, так как

Является бесконечно малой функцией в окрестности предельной точки a, то

Что и требовалось доказать.

Эта теорема имеет ключевое значение в обосновании правил вычисления пределов, которые мы сформулируем в виде теоремы.

ТЕОРЕМА 2. Если существуют пределы

, ,

То существуют и пределы

подпись: (9. 30), ,
, ,

Причем справедливы соотношения :

,

, (9. 31)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Теорема 1 позволяет в окрестности предельной точки a представить функции и следующим образом:

Где и бесконечно малые функции в окрестности этой точки. Поэтому

Где

Где

Теперь становится очевидным ответ на вопрос, можно ли все-таки считать

Из свойств бесконечно малых функций следует, что функция , как и функции и , являются бесконечно малыми в окрестности предельной точки a, что и доказывает теорему.

Докажите, что постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Рис. 9.18. Нахождение площади сечения пирамиды.

 

Вернемся теперь к задаче, поставленной в начале данной главы. Если помните, это была задача о вычислении площади сечения правильной четырехугольной пирамиды в предельном случае, когда A®0 (см. рис. 9.1). Выполним дополнительные построения, позволяющие найти линейные углы для соответствующих двугранных (рис. 9.18). Найдем площадь искомого сечения, являющегося трапецией.

.

Из треугольника FME по теореме синусов получим

Так как ~ , то

В треугольнике SFO находим:

Из треугольника MES получаем:

Рассмотрим предел функции при A, стремящемся к нулю:

Рис. 9.19. Предельное положение сечения пирамиды при .

Здесь мы воспользовались эквивалентностью функций:

при .

Оказалось, что предельное значение площади в два с лишним раза меньше площади квадрата в основании пирамиды (рис. 9.19). Этот результат трудно было бы предсказать при помощи интуиции.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!