03.09. Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости

Вывод нормального уравнения плоскости во многом повторяет вывод нормального уравнения прямой. Пусть в декартовой системе координат 0xyz для данной плоскости известны единичный нормальный вектор и расстояние р от начала отсчета до плоскости (рис. 4.17).

Рис. 4.17. Задание плоскости нормальным уравнением.

Координаты единичного вектора совпадают с его проекциями на координатные оси и равны косинусам углов, которые этот вектор образует с осями. Поэтому вектор может быть задан своими координатами в виде:

Где , и – направляющие косинусы этого единичного вектора; A, B и G – углы, которые он образует, соответственно, с осями x, y и z. Так как , то очевидно соотношение:

Пусть – произвольная точка плоскости, а радиус-вектор, связанный с ней. Для точек плоскости и только для них выполняется условие:

Но

Поэтому равенство

(4.33)

Можно считать нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Его координатная запись имеет вид:

(4.34)

Очевидно, что когда один из направляющих косинусов равен нулю, т. е. угол, образуемый единичным нормальным вектором плоскости с соответствующей осью, равен , данная плоскость ей параллельна. Если какие-либо два направляющих косинуса равны нулю, то данная плоскость параллельна координатной плоскости, образуемой соответствующими координатными осями. При р=0 плоскость проходит через начало координат.