03.02. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Положение прямой на плоскости может быть однозначно задано различными путями. Они определяют не только разнообразие подходов к изучению свойств прямых, но и позволяют оптимальным образом выбрать способ решения конкретных задач с учетом известных исходных данных и провести его исследование.
Известно, что уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом может быть задано в виде:
, (4.1)
Где k – угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла, образованного прямой с положительным направлением оси Ох, а b – ордината точки пересечения прямой с осью y.
Рис. 4.2. Задание прямой уравнением с угловым
коэффициентом.
Всякая ли прямая на плоскости может быть представлена этим уравнением? Всегда ли удобно пользоваться им при решении разнообразных задач? Возможны ли другие формы представления прямой на плоскости? Эти и другие вопросы мы будем обсуждать, развивая возможности описания геометрического места точек, задающих прямую.
Значения параметров k и b позволяют однозначно судить о расположении прямой на плоскости. Очевидно, если , т. е. и (исходя из геометрического смысла задачи, нет
Необходимости рассматривать все множество значений , , при которых ), то прямая проходит параллельно оси Ох:
Есть уравнение такой прямой.
При прямая проходит через начало координат и имеет уравнение
.
Если в уравнении (4.1) коэффициенты k и b одновременно равны нулю, то оно принимает вид :
И задает ось 0х.
Уравнение вида (4.1), вместе с тем, не позволяет выделить путем подбора коэффициентов k и b какую-либо прямую, параллельную оси 0y, так как угол, образуемый с осью 0x, для любой такой прямой равен и не существует. Эту трудность в дальнейшем удастся преодолеть при рассмотрении других уравнений прямой.
Рассмотрим некоторые задачи, которые решаются достаточно просто при использовании уравнения (4.1).
Рис. 4.3. Нахождение угла между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами.
Найдем угол между двумя прямыми (рис. 4.3), заданными уравнениями:
(4.2)
(4.3)
Коэффициенты k1 и k2 позволяют найти углы и , которые образуют эти прямые с осью Ох.
Тогда – один из возможных углов между прямыми, находим из (рис. 4.3):
Таким образом,
(4.4)
Из формулы (4.4) следует, что, если
(4.5)
То – значит, данные прямые параллельны или же совпадают.
Формулу для вычисления угла между прямыми можно представить и в другом виде. Так как
То
(4.6)
Отсюда
(4.7)
Если в этой формуле поменять ролями коэффициенты k1 и k2 (что приведет к смене знака аргумента арктангенса), то мы определим другой угол , смежный по отношению к углу .
Полученная формула при
Дает уже известное условие параллельности прямых, так как при этом
Если же
, (4.8)
То прямые перпендикулярны (теперь ).
< Предыдущая | Следующая > |
---|