2.06. Вероятность суммы событий

Теорема 2.1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема 2.2. Для любого события А Вероятность противоположного события А Выражается равенством

Р(`А) = 1 – Р(А)

Теорема 2.3. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А)+ Р(В) – Р(АВ).

Теорема сложения обобщается на любое конечное число событий следующим образом:

(2.3)

Если события А1, А2, ..., Ап Попарно несовместные, то формула (2.3) принимает вид:

Замечание. При решении задач с использованием формулы (2.3) приходится производить громоздкие вычисления, поэтому часто выгоднее перейти к противоположным событиям, т. е. вместо вероятности суммы событий А1+А2+...+Ап Находить вероятность произведения противоположного события . Очевидно, что эти два события противоположны, поэтому

(2.4)

Пример 2.13. В условиях примера 2 предыдущего пункта найти вероятность появления Хотя бы одной пробоины.

Решение. Данное событие есть сумма событий А И В, Причем эти события совместные, поэтому вероятность интересующего нас события равна Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Ранее было найдено, что Р(АВ)=0.48, следовательно, Р(А + В) = 0.6 + 0.8 – 0.48 = 0.92.

Пример 2.14. Устройство содержит четыре независимо работающих элемента и сохраняет работоспособность, если работает хотя бы один из элементов. Вероятности безотказной работы элементов в течение определенного срока соответственно равны 0.9, 0.8, 0.7 и 0.6. Найти вероятность безотказной работы устройства.

Решение. Пусть события А1 А2, А3 и А4 означают безотказную работу соответственно первого, второго, третьего и четвертого элементов. Событие А={безотказная работа устройства} есть сумма событий: А=А1+А2+А3+А4. События А1 А2, А3 И А4 совместные, поэтому вероятность Р(А) надо вычислять по формуле (2.3). Чтобы упростить вычисления, воспользуемся формулой (2.4):

.

Так как события А1 А2, А3 И А4 независимые, то противоположные события Также независимы, поэтому

= (1 – 0.9)(1 – 0.8)(1 – 0.7)(1 – 0.6) = 0.0024; и

Р(А) = 1 – 0.0024 = 0.9976.

Пример 2.15. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятности попадания в мишень при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0.2, 0.5, 0.4. Найти вероятность того, что будет Ровно два попадания в мишень.

Решение. Событие А={Ровно Два Попадания в мишень} выражается через события А1={попадание при первом выстреле}, А2={попадание при втором выстреле), А3={попадание при третьем выстреле} следующим образом:

Отсюда, учитывая несовместность суммируемых произведений событий и независимость событий А1, А2, А3, находим

Пример 2.16. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом: в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, во второй 10 белых, 8 черных и 6 красных. Из обеих урн наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара одного цвета.

Решение. Введем в рассмотрение следующие события:

В1={извлечение белого шара из первой урны},

В2={извлечение белого шара из второй урны},

С1={извлечение черного шара из первой урны},

С2={извлечение черного шара из второй урны},

D1={извлечение красного шара из первой урны},

D2={извлечение красного шара из второй урны}.

Выразим событие А= {извлечение шаров одного цвета} через эти события:

А= В1 В2+ С1 С2+ D1 D2

Следовательно,

Р(А) = Р(В1)Р(В2) + Р(С1)Р(С2) + Р(D1)P(D2).

Вероятности событий В, С, D Найдем из классического определения: Р(В1)=5/24, Р(В2)=10/24, Р(С1)=11/24, Р(С2)=8/24, Р(D1)=8/24, P(D2)=6/24.

Таким образом, получаем

< Предыдущая		Следующая >