17.5.1. Локальная теорема Лапласа

Использование формулы Бернулли (17.16) при больших значениях П и K представляется затруднительным ввиду уве­личения объема вычислений и операций с большими числами. В этом случае применима формула, устанавливаемая следую­щей Локальной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА 7. Пусть вероятность р появления события А в Каждом испытании постоянна, причем 0 < Р < 1. Тогда веро­ятность Pn(K) того, что событие А появится в п испытаниях ровно K раз, приближенно равна значению функции φ(X):

Точность формулы (17.17) возрастает с увеличением П. Имеются таблицы с вычисленными значениями функции φ(X) (см. Приложение), по которым можно с достаточно высокой степенью точности найти практически любое значение этой функции, а значит, и вычислить нужную вероятность. По­скольку функция φ(X) четная, то в таблицах даются ее значения только для положительных значений Х; иными словами, знак аргумента не играет роли. Формула (17.17) носит название Асимтотической формулы.

Пример 4. Вероятность выпуска бракованного изделия рав­на 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий будет ровно 60 изделий без брака.

Решение. Вероятность появления события А в одном ис­пытании (изделие без брака) Р = 0,7, тогда Q = 0,3, в нашем случае П = 100, K = 60. Последовательно вычисляем:

Теперь для найденного аргумента Х находим по табл. 1 (см. Приложение) соответствующее значение φ(X); оно равно 0,0371. Подстановка этого числа в формулу (17.17) дает при­ближенное значение искомой вероятности:

< Предыдущая		Следующая >