11.1. Аппарат дифференциальных уравнений в экономике. Дифференциальные уравнения первого порядка. Модель естественного роста выпуска

В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики, где независимой переменной является время T. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования Экономической динамики.

Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(T) количество продукции, реализованной на момент времени T; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(T). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т. е.

Где M — норма инвестиции — постоянное число, причем 0 < Т < 1.

Если исходить из предположения о ненасыщаемости рынка (или о полной реализации производимой продукции), то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска (акселерации), причем скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т. е.

Где 1/l — норма акселерации. Подставив в (11.2) формулу (11.1), получим

Дифференциальное уравнение (11.3) представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения имеет вид

Где С — произвольная постоянная. Пусть в начальный момент времени T = T0 зафиксирован (задан) объем выпуска продукции Q0. Тогда из этого условия можно выразить постоянную С: Q0 = С, откуда С = Q0. Отсюда получаем частное решение уравнения (11.3) — решение задачи Коши для этого уравнения:

Заметим, что математические модели обладают свойством общности. Так, из результатов биологических опытов следует, что процесс размножения бактерий также описывается уравнением (11.3). Процесс радиоактивного распада подчиняется закономерности, установленной формулой (11.4).

< Предыдущая		Следующая >