09.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

Дифференциальные уравнения занимают особое место в ма­тематике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построе­нию математических моделей, основой которых являются диф­ференциальные уравнения.

В дифференциальных уравнениях неизвестная функция со­держится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функ­ций, представляющих собой решения этих уравнений.

В этой части излагаются элементы теории Обыкновенных Дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции за­висят от одной переменной. Теория дифференциальных урав­нений, когда неизвестные функции зависят от нескольких пере­менных — уравнения В частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.

Определение 1. Уравнение вида

Где Х — независимая переменная, У и У' — соответственно не­известная функция и ее производная, называется дифференци­альным уравнением Первого порядка.

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

В случае когда из уравнения можно выразить У', оно имеет вид

Уравнение (9.1) называется уравнением первого порядка, Раз­решенным относительно производной. В дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого ви­да. Примеры уравнений, разрешенных относительно производ­ной:

Приведем примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции У'.

Пример 1. (Y')2 = X2 + У2, откуда получаем два уравнения первого порядка У' = ±.

Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция У = φ(X), определенная на некотором интервале (А, B), которая при подстановке в урав­нение обращает его в тождество.

Например, функция У = х2 тождественно обращает в нуль левую часть уравнения Ху' — 2Х2 = 0 и потому представляет собой решение этого уравнения.

В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. Пусть дано дифференциальное уравнение (9.1). Если функция f(x, y) и ее частная производная f'y(x, y) непре­рывны в некоторой области D плоскости Оху, то в неко­торой окрестности любой внутренней точки (x0, у0) этой области существует единственное решение уравнения (9.1), удовлетворяющее условию у = у0 при х = x0.

График решения дифференциального уравнения называет­ся Интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутрен­нюю точку области D проходит только одна интегральная кри­вая. Условия, которые задают значение функции У0 в фиксиро­ванной точке X0, называют Начальными условиями (условиями Коши) и записывают в такой форме:

Задача нахождения решения уравнения (9.1), удовлетворя­ющего условию (9.2), называется Задачей Коши — из множес­тва интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (X0, Y0) области D.

В ряде случаев, когда условия теоремы Коши не выполне­ны, через некоторые точки плоскости Оху либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит более одной ин­тегральной кривой; эти точки называются Особыми точками Данного дифференциального уравнения.

Определение 3. Общим решением уравнения (9.1) называет­ся функция У = φ(X, С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С.

Определение 4. Частным решением уравнения (9.1) в облас­ти D называется функция У = φ(х, С0), полученная при опре­деленном значении постоянной С = С0.

Общее решение У = φ(X, С) описывает семейство интег­ральных кривых на плоскости Оху. Условия Коши (9.2) фик­сируют произвольную постоянную С и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых уравнения (9.1) одну интег­ральную кривую У = φ(X,C0), проходящую через заданную точку (X0, Y0).

Например, рассмотрим уравнение У' = 2Х. Правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши во всех точках плоскости Оху (функции F(X, У) = 2Х и F'Y(X, у) 0 определены и непрерывны на всей плоскости Оху). Нетруд­но видеть, что общим решением уравнения является функция У = х2 + С, где С — произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (рис. 9.1). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия (9.2) и подставим их в формулу общего решения; получаем, что С = у0 — X02, откуда находим частное решение У = Х2 + у0 – х02. Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х0, у0).

< Предыдущая		Следующая >