Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенного интеграла к табличному. Такой прием называется Методом подстановки, или Методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.
ТЕОРЕМА 1. Пусть функция х = φ(T) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а Х — множество значений этой функции, на котором определена функция F(X). Тогда если функция F(X) имеет первообразную на множестве Х, то на множестве Т справедлива формула
Выражение (6.1) называется Формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Рассмотрим применение этого приема на примерах вычисления интегралов.
Решение. Здесь разложение по биному Ньютона представляется весьма сложным. Введем новую переменную T = х — 1. Тогда Х = t + 1, Dx = Dt, и исходный интеграл преобразуется следующим образом:
Сделав обратную замену переменной, получаем окончательный ответ:
Решение. Положим T = 2 - Х, тогда Х = 2 - T, Dx = -Dt. Отсюда по формуле (6.1) получаем
Решение. Преобразуем этот интеграл, переписав его в виде
Из вида подынтегральной функции следует, что целесообразно ввести новую переменную T = sin X. Тогда 1 — sin2 Х = 1 — T2, Dt = cos X Dx; подстановка в интеграл дает
Здесь использован табличный интеграл 10.
Решение. Введем новую переменную T = X4 и выполним все необходимые операции: X8 + 1 = T2 + 1, Dt = 4XЗDx, откуда имеем
Решение. Положим T = х2 + 1, тогда Dt = 2Х dx или Xdx = 
, и данный интеграл принимает вид табличного интеграла:
