05.1. Применение производных в исследовании функций. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя
Будем говорить, что отношение двух функций при X A Есть неопределенность вида , если
Раскрыть эту неопределенность означает вычислить предел , если он существует.
ТЕОРЕМА 1 (теорема Лопиталя*). Пусть функции F(X) и g(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а за исключением, быть может, самой точки a. Кроме того, пусть , причем g'(х) ≠ 0 в указанной окрестности точки а. Тогда если существует предел отношения (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула
* Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь — французский математик (1661 — 1704).
Эту теорему обычно называют Правилом Лопиталя.
Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно, если F'(X) и G'(х) удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(х).
Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда х (х ± ).
Теперь рассмотрим примеры.
Пример 1.
Здесь мы дважды последовательно применили правило Лопиталя, поскольку два раза имели дело с неопределенностью вида .
Пример 2.
Пример 3.
< Предыдущая | Следующая > |
---|