03.8. Понятие сложной функции

Определение. Если на некотором промежутке Х определена функция Z = φ(X) с множеством значений Z и на множестве Z Определена функция У = F(Z), то функция У = F[φ(X)] называ­ется сложной функцией от X (или суперпозицией функций), а переменная Z — промежуточной переменной сложной функции.

Приведем примеры сложных функций.

Пример 1. У = cos —Сложная функция, определенная на полубесконечном интервале (—,1], так как У = F(Z) = Cos Z, Z = φ(X) = .

Пример 2. У = — сложная функция, определенная на всей числовой прямой, поскольку У = F(Z) = еZ , Z = φ(X) = —х2.

Пример 3. У = — сложная функция, определенная на полубесконечных интервалах (-,0) и (0, + ), так как Y = f(z) = z3/2, z = φ(x) = (1 + x) / x.

ТЕОРЕМА 8. Пусть функция Z = φ(X) непрерывна в точке X0, а функция у = F(z) непрерывна в точке Z0 = φ(x0). Тогда сложная функция у = F[φ{X)] непрерывна в точке X0 = 0.

Пример 4. Функция Y = tg (X2 + 2X) непрерывна в точке X = 0, так как функция Z = х2 + х непрерывна в точке Х = 0, а функ­ция У = tg Z непрерывна в точке Z = 0.

< Предыдущая		Следующая >