03.7.1. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность элементарных функций в точке
Постоянная функция F(X) = С является непрерывной в любой точке числовой прямой. Действительно, F(X) = С = F(А), что соответствует определению непрерывности функции в точке.
Функция F(X) = х непрерывна в каждой точке А числовой прямой, так как предел функции в точке А равен ее значению в этой точке: F(X) = а = F(A).
Из сказанного выше и теоремы 3.7 следует, что в любой точке числовой прямой функции X2 = X ∙ X, X3 = X2 ∙ Х,..., Xn = Xn-1 ∙ X (N — натуральное число) непрерывны.
Алгебраический многочлен
Также является непрерывной функцией в любой точке числовой прямой в силу теоремы 3.7, поскольку представляет собой сумму произведений непрерывных функций.
Дробно-рациональная функция
Где Р(X) и Q(X) — алгебраические многочлены, в силу теоремы 3.7 непрерывна во всех точках числовой прямой за исключением корней знаменателя.
Тригонометрические функции sin X, и cos X непрерывны в любой точке X числовой прямой.
Непрерывность функций tg X = sin X / cos X и sec X = 1/ cos X соблюдается во всех точках, X ≠ π / 2 + Nπ; аналогично непрерывность функций ctg X = cos X / sin X и sec X = 1 / sin X обеспечена во всех точках X ≠ Пπ (N = 0, ±1, ±2,...).
Рассмотренные выше функции непрерывны в каждой точке, в окрестности которой они определены. В силу теоремы 3.7 функции, получаемые из них при использовании конечного числа арифметических операций, являются также непрерывными.
< Предыдущая | Следующая > |
---|