02.2. Применение в экономике
Рассмотрим два примера из экономики на использование числа Е.
Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид
(2.4)
Где Q0 — первоначальная сумма вклада в банк, Р — процент начисления за определенный период времени (месяц, год), П — Количество периодов времени хранения вклада, Q — сумма вклада по истечении П периодов времени. Формулы типа (2.4) используются также в демографических расчетах (прирост народонаселения) и в прогнозах экономики (увеличение валового национального продукта). Пусть первоначальный депозит Q0 Помещен в банк под Р = 100% годовых, тогда через год сумма депозита составит 2Q0. Предположим, что через полгода счет закроется с результатом И эта сумма будет вновь помещена в качестве депозита в том же банке. В конце года депозит будет составлять . Будем уменьшать срок размещения депозита в банке при условии его последующего размещения после изъятия. При ежеквартальном повторении этих операций депозит в конце года составит . Если повторять операцию изъятие-размещение в течение года сколько угодно раз, то при ежемесячном манипулировании сумма за год составит ; при ежедневном посещении банка ; при ежечасном — и т. д. Нетрудно видеть, что последовательность значений возрастания первоначального вклада {Qn} = {Qn/Q0} как раз совпадает с последовательностью, пределом которой является число ε при П согласно (2.4). Таким образом, доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более чем
В общем случае, если Р — процент начисления и год разбит на N частей, то через T лет сумма депозита достигнет величины
Где R = Р/100. Это выражение можно преобразовать:
Мы можем ввести новую переменную и при N получим M , или
Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам.
Пример 2. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?
Решение. Применение формулы сложных процентов дает
Где Q0 — первоначальная сумма, 182 — число дней в полугодии. Преобразуя это выражение, получаем
Т. е. инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.
< Предыдущая | Следующая > |
---|