1.18 Функциональные отношения

Отношение А Ì Х ´ Y называется Функциональным, если все его элементы (упорядоченные пары) имеют различные первые координаты. Иначе говоря, каждому элементу Х Î Х такому, что (Х, у) Î А, соответствует один и только один элемент У Î Y.

Очевидно, что для функционального отношения А каждое сече­ние по Х из Х содержит не более одного элемента. Если Х не входит в область определения DО(А) этого отношения, то сечение по Х пусто. Если сечение по любому элементу из Х содержит один и только один элемент, то функциональное отношение является Всюду определенным.

Матрица функционального отношения содержит в каждом столб­це не больше одного единичного элемента. Элементам X Î Х, не входящим в область определения, соответствует нулевой столбец в мат­рице.

Например, пусть Х = {Х1, х2, х3, х4, х5, х6} и Y = {У1, у2, у3}.

Xi Yj	X1	X2	X3	X4	X5	X6
Y1	1		1			1
Y2		1
Y3					1

Функциональное отношение А ={(Х1, у1), (Х2, у2), (Х3, у1), {(Х5, у3), (Х6, у1)}. В матрице четвертый столбец нулевой. Всякое функцио­нальное отношение можно рассматривать как функцию. При этом пер­вая координата Х упорядоченной пары (Х, у) Î А является аргументом (переменной), а вторая У – образом (значением) функции. Обычная запись У = F(X) соответствует соотношению X F Y или (Х, у) Î F.

Итак, для всякого функционального отношения А можно опреде­лить связанную с этим отношением функцию F. Но симметричное к нему отношение А-1 может и не быть функцией. Для нашего примера, симметричное отношение А-1 имеет вид: А-1 = {(У1, х1), (У1, х3), (У1, х6), (У2, х2), (У3, х5)} и функцией не является, так как его элементы не имеют различные первые координаты.

Если вместо числовых рассматривать множества какой угодно природы, то мы придем к самому общему понятию функции.

Пусть M и N – два произвольных множества. Говорят, что на M определена функция F, принимающая значения из N, если каждому эле­менту Х Î M поставлен в соответствие один и только один элемент У Î N. Для записи этого факта используют следующую символику F: M®N.

Таким образом, функция есть отображение множества Х во мно­жестве Y.

Установлены основные свойства отображений:

– прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов

F-1(AB) = f-1(A) F-1(B);

– прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов

F-1(AB) = F-1(A) F-1(B);

– образ суммы двух множеств равен сумме их образов

F (AB) = F (A) F (B).

Эти свойства остаются в силе для сумм и пересечений любого (конечного или бесконечного) числа множеств.

Замечание: Образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов.

Например, пусть рассматриваемое отображение представляет со­бой проектирование плоскости на ось ОХ. Тогда отрезки

0 £ Х £ 1, У = 0

0 £ Х £ 1, у = 1

Не пересекаются, а их образы совпадают.

< Предыдущая		Следующая >