1.15 Структура упорядоченных множеств

Пусть М – множество, упорядоченные некоторым отношением порядка А, а Q – некоторое его подмножество Q Ì M. Тогда Мажо­Рантой (верхней границей) Подмножества Q Ì M называют такой элемент M Î M, что для всех Q Î Q справедливо соотношение Q А M.

Например: Пусть М – множество натуральных чисел от 1 до 10, т. е. М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, а Q – подмножество Q = {5, 6, 7}. Если А – это отношение порядка £, то мажорантой подмножества Q Ì M является такой элемент M Î M, для которого выполняется условие 5 £ M; 6 £ M; 7 £ M. Таким элементом является, например, M = 8 (а также M = 9 и M = 10).

Минорантой (нижней границей) Подмножества Q Ì M назы­вается такой элемент M Î M, когда для всех Q Î Q выполняется соотношение M А Q.

Например: Для условий предыдущего примера минорантой является такой элемент M Î M, для которого выполняются соотношения M £ 5; M £ 6; M £ 7. Таким элементом является, например, M = 4 (а также M = 3; M = 2; M = 1).

Множество Q Ì M может иметь много мажорант и минорант.

Если множество мажорант имеет минимум, то этот элемент единственный. Его называют Верхней гранью или супремумом Мно­жества Q и обозначают Sup Q.

Если множество минорант имеет максимум, то этот элемент единственный. Его называют Нижней гранью или инфинумом Мно­жества Q и обозначают Inf Q.

Если мажоранта (или миноранта) принадлежит множеству Q, то она называется максимумом (или минимумом) множества Q – max Q (min Q). Максимум, как и минимум, единственный (если он сущест­вует). Поэтому, когда говорят о максимуме или минимуме, то это элемент единственный и вполне определенный.

Для нашего примера Q = 7 – это max Q, а Q = 5 – это min Q.

< Предыдущая		Следующая >