07. Теорема запізнення

Розглянемо оригінал . Тоді функція

де - додатнє число, має графік, який одержується із графіка зсувом останнього на величину в додатному напрямку осі (Рис. 3)

Рис. 3

Якщо функція визначає перебіг у часі якогось процесу, то функція визначає той же процес, що почався з запізненням .

Якщо - одинична функція Хевісайда, то графік функції має вигляд, зображений на рисунку 4.

Рис. 4

За допомогою одиничної функції Хевісайда функцію , що запізнюється на , можна записати так:

Бо (в цьому випадку аргумент від'ємний) і 1 при .

Теорема. Якщо і - будь-яке додатнє число, то

. (16)

Виходячи із фізичного тлумачення, теорему запізнення можна сформулювати так: запізненню оригіналу на час відповідає множення зображення на .

На цій теоремі буде засновано зображення багатьох функцій (частково функцій, які описують імпульсні процеси).

Застосуємо теорему запізнення до побудови зображення одиничного імпульсу , що діє за проміжок часу

Графік його зображено на рисунку 5.

Рис. 5

Цей одиничний імпульс можна розглядати, як різницю двох оригіналів: одиничної функції і одиничної функції, що зсунена на . Запишемо за допомогою одиничної функції Хевісайда:

Застосовуючи теореми лінійності і запізнення, одержимо

Нехай тепер одиничний імпульс починається не в момент , а в деякий момент і, як і раніше, діє за проміжок часу (Рис. 6).

Рис. 6

Застосовуючи теорему запізнення, одержимо його зображення:

Приклад 4. Знайти зображення оригіналу

Розв’язання. є функція , яка "вмикається" з запізненням .

За теоремою запізнення маємо

Якщо б ми не написали множник , то одержали б функцію , яка означає оригінал без запізнення. Зображення цього оригіналу буде

Приклад 5. Знайти зображення функції

Розв’язання. Функція описує деякий процес, що "вмикається" із запізненням . Щоб вирішити, який це процес, треба задану функцію записати у формі

Зробимо це:

Отже, є процес , що "вмикається" із запізненням .

Застосовуючи теорему запізнення, одержимо

Приклад 6. Знайти зображення функцій і , заданих на рисунках 7 (а і б).

Рис. 7

Розв’язання. Перша функція є імпульс величини 3, що вмикається в момент часу і "гасне" в момент . Отже,

Приклад 7. Знайти зображення функції, заданої на рисунку 8.

Рис. 8

Розв’язання. Задамо функцію аналітично

1) ,

2) на інтервалі скористуємося рівнянням прямої, що проходить через дві дані точки та :

3) .

Отже,

За допомогою одиничної функції Хевісайда запишемо одним аналітичним виразом.

, в момент "вмикається" функція, що дорівнює 4; в момент вона "гасне" і "вмикається" функція ; в момент "гасне" і ця функція. Всю цю послідовність можна записати так: