03. Існування зображення

Теорема. Для будь-якого оригіналу зображення визначено в півплощині , де - показник зростання функції , причому функція аналітична в цій півплощині (Рис. 2).

Висновок. Якщо точка так, що , то зображення .

З теореми і висновку ясно, що не всяка функція комплексної змінної може бути зображенням деякого оригіналу .

Рис. 2

З аналітичності в півплощині виходить, що усі особливі точки функції повинні лежати лівіше прямої (або на самій прямій). Ось чому функція не є зображенням, бо вона має нескінченну множину полюсів , розподілених по всій осі .

Функція не є зображенням, тому що не прямує до нуля при .

Відмітимо, з іншого боку, що зображення можуть існувати не тільки для функцій, які є оригіналами. Наприклад, для функції (і для функції ) інтеграл Лапласа (1) збігається. Отже, для неї існує зображення, хоч ця функція і не є оригіналом.

Таким чином, умови а), б), в), яким задовольняють оригінали, є достатніми, але не необхідними умовами існування зображення функції.

< Предыдущая		Следующая >