35. Центральная предельная теорема

Нормально распределенные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым (центральная предельная теорема): Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример: Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебание прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную “частную ошибку”. Однако их совокупное действие порождает уже заметную “суммарную ошибку”, которая имеет распределение, близкое к нормальному.

Таким образом, Центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет нормальное распределение.

Центральная предельная теорема:

Пусть X1, X2…..Xn – последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию: M(Xk) = Ak, D(Xk) = Bk2.

Обозначим , , , а функцию распределения нормированной суммы через .

Тогда при любом X функция распределения нормированной суммы стремится к нормальной функции распределения при :

.

В частности, если все случайные величины X1, X2….. Одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин Xi (I=1,2,….) Конечны и отличны от нуля.

Условие Ляпунова: Если для δ > 0 при Отношение Ляпунова

, где

Стремится к нулю, то к последовательности X1, X2 применима центральная предельная теорема.

Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы Оказывало на сумму ничтожное влияние.

< Предыдущая		Следующая >