4.10. Метод вариации произвольной постоянной

Рассмотрим ЛНДУ n-го порядка

. (1)

Согласно теореме о структуре решения ЛНДУ его решение есть

(2)

Предположим, что известно решение ЛОДУ . Для нахождения частного решения будем считать постоянные функциями , т. е.

. (3)

Найдем производную

(4)

И выберем так, чтобы . Найдем вторую производную

(5)

И положим . Найдем третью производную и т. д. раз. Подставим найденные производные и функцию (3) в уравнение (1), найдем . В результате построим систему неоднородных уравнений линейных уравнений относительно функций :

Определителем этой системы является определитель Вронского , который отличен от нуля, т. к. система решений является фундаментальной системой решений. Поэтому система имеет единственное решение . Интегрируя эти соотношения, найдем . После подстановки этих функций в (3) находим окончательно