1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Задача 1. Найти зависимость роста числа бактерий с течением времени, если скорость их размножения пропорциональна количеству, а в начальный момент их было .

Обозначим число бактерий в момент времени . По условию задачи , где - коэффициент пропорциональности (зависит от вида бактерий и условий в которых они находятся). Поскольку , то, разделив обе части уравнения на , получим . Интегрируя обе части равенства, получим , где - произвольная постоянная. Из начального условия находим . Окончательно, .

Как видно, процесс размножения бактерий моделируется уравнением, содержащим первую производную неизвестной функции. О таком уравнении говорят, что оно является дифференциальным уравнением первого порядка.

Задача 2. Найти закон движения свободно падающего тела массой , если его начальное положение было , а начальная скорость . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Направим ось вертикально вниз. Тело падает под действием силы тяжести , поэтому согласно второму закону Ньютона . Интегрируя обе части равенства дважды, получим . Из начального условия из первого соотношения находим , из начального условия и второго соотношения находим . Окончательно, .

Как видно, свободное падение тел моделируется уравнением, содержащим вторую производную неизвестной функции. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями второго порядка.

Следующая >