Глава 14.4. Основные типы моделей

Из различных модификаций линейных возрастающих случайных функций изменения ОП Х(t) или ln X(t) наиболее часто процесс приближения объекта к отказам аппроксимируется следующими типами моделей:

А) веерной с ненулевым начальным рассеиванием  (рис. 2a);

Б) веерной с нулевым начальным рассеиванием  (рис. 2б);

В) равномерной (рис. 2в).

Тип модели линейной функции Х(t) или ln X(t) зависит от числа случайных аргументов, определяющих ее случайный характер.

Веерная функция с ненулевым начальным рассеиванием Описывается:

- для процесса X(t)

(10)

- для процесса  ln X(t)

(11)

При  t = 0 значения функций (12) и (13) представляют собой случайную величину, соответственно

(12)

И 

(13)

Причем V = V' . С учетом (12) и (13) модели (10), (11) легко представляются в виде (5) и (9). Случайный характер рассмотренной модели определяется двумя случайными аргументами:  X0  или ln X0  - случайное начальное значение ОП или его логарифма; V или V' - случайная скорость изменения ОП или его логарифма.

Как следует из рис. 2a,  все  реализации веерной линейной случайной функции с ненулевым начальным рассеиванием проходят через общую неслучайную точку - "полюс".

Аргумент рассмотренной модели - случайная скорость изменения ОП (V) или логарифма ОП (V ) - имеет нормальное распределение с плотностью распределения соответственно:

(14)

(15)

Линейно зависящая от V случайная функция Х(t) (10) во всех   сечениях будет распределена нормально с плотностью

И параметрами распределения:

(16)

 - матожидание mXi = M{Xi};

- среднее квадратичное отклонение

- Численные характеристики - матожидание mx(t) и СКО Sx(t), самой случайной функции (10) выражаются через числовые характеристики  mv и  Sv  случайной скорости:

	(17)
	(18)

 Cлучайное начальное значение ОП  X0 соответствует сечению функции Х(t) (10) при t =0, поэтому также имеет нормальное распределение по (16) при i = 0 с параметрами  mx(t = 0) = mx0  и  СКО  Sx(t = 0) = Sx0 , определяемыми из  (17) и (18) при t=0:

	(19)
	(20)

 С учетом (19) и (20) выражения (17), (18) для числовых характеристик случайной функции (10) изменения ОП Х(t) примут вид:

	(21)
	(22)

 В соответствие с (11) нормальное распределение скорости V' приводит к тому, что линейно зависящий от V' логарифм ОП  ln X(t) = Y(t) также будет распределен нормально во всех   - сечениях  с плотностью распределения

(23)

 Cам же ОП при этом будет иметь логарифмически нормальное распределение, плотность которого:

(24)

 В выражениях (23), (24)

Myi = M{lnXi},

 -  соответственно, матожидание и СКО логарифма ОП в   сечениях случайной функции (11).

 Матожидание my(t)  и СКО  Sy(t) линеаризованной путем логарифмирования функции (11) можно получить, используя числовые характеристики случайной  скорости  V :  mv'   и  Sv'.  Проводя аналогичные, как для функции (10), преобразования, получаем числовые характеристики модели (11) изменения логарифма  ОП  lnX(t) = Y(t):

(25)

(26)

 Веерная функция с нулевым начальным рассеиванием является частным случаем модели (5), (9) и может быть получена из указанных выражений путем замены в них, соответственно, случайных начальных значений ОП  Х0  или  его логарифма  lnX0  = Y0 некоторым неслучайным значением K0 или  lnK0.

Поскольку веерная модель с ненулевым начальным рассеиванием является

Частным случаем моделей (10), (11), то ее свойства определяются свойствами указанных моделей, поэтому  числовые характеристики определяются (без вывода):

  - для функции Х(t) = K0 + Vt  изменения ОП  из  (21), (22)

   

	(27)
	(28)

 - для функции Y(t) = lnX(t) = lnK0 + V't  изменения ОП  из (25), (26)

(29)

(30)

 Равномерная функция Также является частным случаем моделей (5), (9) и может быть получена из последних путем замены в них соответственно случайных скоростей изменения  ОП  V или его логарифма V' на неслучайные (постоянные) скорости   или '.

Числовые характеристики случайных функций определяются (без вывода):

- для функции изменения ОП  Х(t) = X0 + T  из  (21), (22)

	(31)
	(32)

  - для функции  Y(t) = lnX(t) = Y0 +'t  из  (25), (26)

	(33)
	(34)

 Рассмотренные линейные модели удобны для аппроксимации случайных процессов изменения ОП тем, что позволяют характеризовать эти процессы ограниченным числом аргументов модели, для определения которых требуется минимальный объем экспериментальных данных.

< Предыдущая		Следующая >