Глава 13. Надежность восстанавливаемых объектов и систем. Постановка задачи. Общая расчетная модель

При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:

· экспоненциальное распределение наработки между отказами;

· экспоненциальное распределение времени восстановления.

Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде Марковских систем.

При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют Метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).

Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется Марковским, если он обладает Следующим свойством: для любого момента T0 вероятность состояния системы в будущем (T > t0) зависит только от состояния в настоящем (T  = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого).

T < t0

T  > t0

  Для марковского процесса «будущее» зависит от  «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.

Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.

При использовании метода, в общем случае, для системы S, необходимо иметь Математическую модель в виде множества состояний системы S1 , S2 , … , Sn , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:

- отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

- отсутствуют ограничения на число восстановлений;

- если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями  S1 , S2 , … , Sn .

Основные правила составления модели:

1. Математическую модель изображают в виде графа состояний.

Элементы графа:

А) кружки (вершины графа S1 , S2 , … , Sn ) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;

Б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния Si в другое Sj .

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Примеры графа:

S0 – работоспособное состояние;

S1 – состояние отказа.

«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие:

- исправное состояние продолжается;

- состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем).

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S1 , S2 , … , Sn. Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний

 P1(t), P2(t), … , Pi(t), … , Pn(t),

где Pi(t) – вероятность нахождения системы в момент T в i-м состоянии, т. е.

Pi(T) = P{S(T) = Si}.

Очевидно, что для любого t

(1)

 (нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S1 , S2 , … , Sn Нет).

3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:

(2)

  В общем случае, интенсивности потоков Ij и Ij могут зависеть от времени T.

При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

А)  в левой части – производная по времени T от Pi(t);

Б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

В) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

Г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

 4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний  P1(t), Pi(t), … , Pn(t) необходимо задать начальное значение вероятностей

P1(0), Pi(0), … , Pn(0),  при  t = 0,

Сумма которых равна единице:

 

 Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то Pi(0) = 1, а остальные равны нулю.

< Предыдущая		Следующая >