Глава 13.1. Показатели надежности восстанавливаемых систем

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

SM S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

S = SK SM,

SK SM = 0.

1. Функция готовности Г(t) системы Определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t

где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном J-м состоянии;

Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном Z-м состоянии.

2. Функция простоя П(t) системы

3. Коэффициент готовности kг. с. системы Определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При t Устанавливается Предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются

Коэффициент готовности Kг. с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части DPi(t)/dt = 0, т. к. Pi = Const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

(3)

и коэффициент готовности:

есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .

4. Параметр потока отказов системы

(4)

где Jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов

(5)

6. Средняя наработка между отказами На интервале T

(6)

Примечание: При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj, средняя наработка между отказами

T0= kГ.С./ ,

Где () = .

В качестве Примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

= = 1/ T0,

А распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

= 1/ TВ ,

Где T0 – средняя наработка между отказами;

TВ – среднее время восстановления.

P0(t) – вероятность работоспособного состояния при T;

P1(t) – вероятность неработоспособного состояния при T.

Система дифференциальных уравнений:

(7)

Начальные условия: при T = 0 P0(t = 0) = P0(0) = 1; P1(0) = 0, поскольку состояния S0 и S1 представляют полную группу событий, то

P0(t) + P1(t) = 1.

(8)

Выражая P0(t) = 1 - P1(t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P1(T):

dP1(t)/dt = (1 – P1(t)) - P1(t).

(9)

Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi(t):

т. е. Pi(S) = L{Pi(t)} – изображение вероятности Pi(t).

Преобразование Лапласа для производной DPi(t)/dt:

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:

(9)

где L{} = L{1} = /S .

При P1(0) = 0

SP1(S) + P1(S)( + ) = /S.

P1(S)( S + + ) = /S,

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

(10)

Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:

Применяя обратное преобразование Лапласа, с учетом:

L{f(t)} = 1/S, То f(t) = 1;

L{f(t)} = 1/( S + a), То f(t) = e-at,

Вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии Определяется:

(11)

Тогда Вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна

(12)

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент T.

Коэффициент готовности системы kг. с.. определяется при установившемся режиме t , при этом Pi(t) = Pi = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку

DPi(T)/Dt = 0.

Так как kг. с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент T при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг. с.

При t Алгебраические уравнения имеют вид: