Глава 11. Надежность системы с ненагруженным резервированием

Общий анализ надежности приведен для системы, состоящей из одного основного (рабочего) и (N - 1) резервных элементов.

Допущения:

1. Время замены отказавшего элемента резервным равно 0 (t3 0).

2. Переключающее устройство подключения резервного элемента вместо отказавшего основного – абсолютно надежно.

При ненагруженном резервировании резервный элемент не может отказать, находясь в отключенном состоянии, и его показатели надежности не изменяются.

Исходные данные для расчета надежности:

· вероятность безотказной работы (ВБР) i-го элемента Pi(t).

· интенсивность отказов (ИО) I-го элемента I(t).

· математическое ожидание (МО) наработки до отказа I-го элемента T0i.

Анализ случайной наработки до отказа системы с ненагруженным резервом (рис. 1):

Рис. 11.1

МО наработки до отказа системы:

где T0i = M(Ti ) – МО наработки до отказа I-го элемента системы.

Рассмотрим систему, состоящую из основного элемента (ОЭ) и одного резервного (РЭ). ОЭ и РЭ являются невосстанавливаемыми объектами.

Рис.11.2

События, соответствующие работоспособности системы за наработку (0, t):

A = {безотказная работа (БР) системы за наработку (0, t)};

A1 = {БР ОЭ за наработку (0, t)};

A2 = {отказ ОЭ в момент t >, включение (T3 = 0) РЭ и БР РЭ на интервале (T – )}.

Событие A = A1 A2, поэтому ВБР системы к наработке T (за наработку (0, t)), определяется:

P(A) = P(A1 ) + P(A2 ) ,

где P(A) = PС(t);

P(A1 ) – ВБР ОЭ к наработке T, P(A1 ) = P1 (t);

P(A2 ) = Pр (t) – вероятность отказа ОЭ и БР РЭ после отказа ОЭ.

При известном законе распределения наработка до отказа ОЭ вычисление P1 (t) не представляет сложности.

Событие A2 является «сложным» событием, включающим в себя простые:

A21 = {отказ ОЭ при < T (вблизи рассматриваемого момента )};

A22 = {БР РЭ с момента до t, т. е. в интервале (T - )}.

Событие A2 осуществляется при одновременном выполнении событий A21 и A22:

A2 = A21 A22 .

События A21 и A22 являются зависимыми, поэтому вероятность события A2

P(A2 ) = P(A21 ) · P(A22| A21 ) .

Соответствующие вероятности:

1) P(A22| A21 ) = P2 (t - ) – ВБР РЭ в интервале (T - ),

Где P2 (t) – ВБР РЭ к наработке T.

2) для определения P(A21 ) рассмотрен малый интервал ( , + D), для которого вероятность отказа ОЭ равна:

f1() D

Для получения ВО ОЭ к моменту Интегрируем полученное выражение по От 0 до T.

Поскольку ВО, как функция распределения случайной наработки до отказа,

Равна то

где

Вероятность события A2:

Тогда ВБР рассмотренной системы с ненагруженным резервом равна:

(1)

Аналогично, для системы с одним ОЭ и (N -1) РЭ, получается рекуррентное выражение:

(2)

где индекс (N - 1) означает, что соответствующие характеристики (ВБР и ПРО) относятся к системе, в которой включается в работу последний N-й элемент.

Выражение (2) приведено для состояния, когда к моменту Отказал предпоследний (N -1) элемент системы и остался лишь один (последний) работоспособный элемент.

Принимая для рассмотриваемой системы, что наработки до отказа ОЭ и РЭ подчиняются экспоненциальному распределению с параметрами 1 и 2:

P1 (t) = exp ( -1 t);

P2 (t) = exp ( -2 t),

выражение (1) после интегрирования имеет вид:

(3)

Плотность распределения наработки до отказа системы, равна:

(4)

При кратностях резервирования K > 5 распределение наработки до отказа системы с ненагруженным резервом становится близким к нормальному независимо от законов распределения наработки, составляющих систему элементов.

При идентичных ОЭ и (n -1) РЭ и экспоненциальном распределении наработки элементов для ВБР системы с ненагруженным резервом и целой кратностью резервирования k = (n - m)/m, где m = 1:

(5)

где N – число элементов системы;

K = (n - 1)/1 = (n - 1) – кратность резервирования, при M = 1 .

ВО системы:

(6)

ПРО системы:

ИО системы:

Таким образом, распределение наработки до отказа таких систем подчиняется распределению Эрланга (гамма-распределение при целых N).

Согласно, выражению (5) проанализируем, как изменяется ВБР системы при различной кратности резервирования:

Сравнение ненагруженного и нагруженного резервирований проведено по графику Pс(T) для системы с идентичными элементами () и кратностью резервирования K = 2.

Наибольшая эффективность от использования системы с ненагруженным резервом будет при продолжительности работы РЭ не менее 1.5 T0.

При ненагруженном резерве с дробной кратностью (при m > 1) и экспоненциальном распределении наработки до отказа идентичных элементов (ИО ) расчетное выражение для Pс(t):

где K* = n – m.

Ниже рассмотрены показатели безотказности системы с ненагруженным резервированием, когда Случайная наработка до отказа элементов системы подчиняется нормальному распределению с ПРО

где - число элементов системы.

Поскольку случайная наработка до отказа системы

а Ti являются независимыми случайными величинами наработки, то сумма (композиция) независимых случайных величин, каждая из которых распределена нормально, также имеет Нормальное распределение с параметрами:

- Математическое ожидание наработки до отказа

- Дисперсия наработки до отказа

Среднее квадратичное отклонение наработки до отказа системы, определяется:

Плотность распределения случайной наработки до отказа системы при целой кратности резервирования

Показатели безотказности определяются с использованием функций F(x) и (x) для

и имеют вид:

PС(T) = 0,5 - (X) ; QС(T) = 0,5 + (X) .

Для системы с элементами наработка на отказ которых подчиняется экспоненциальному распределению Pi (t) = exp(-I t), можно принять Pi(t) 1 -I t, поэтому выражения ВО и ВБР:

При ненагруженном резерве ВО системы в N! раз меньше, чем при нагруженном.

< Предыдущая Следующая >