22. Неформальные теории в рамках теории множеств

По поводу сказанного до сих пор относительно неформальных теорий не может не возникнуть некоторое недоумение. С одной стороны, неоднократно' подчеркивалось, что первичные термины такой теории никак не определяются (кроме как перечислением тех их свойств, которые явным образом предписаны аксиомами теории); с другой же стороны, в каждом из рассматривавшихся до сих пор примеров в качестве первичных терминов брались некоторые множества. Иными словами, общая природа первичных терминов ограничивалась. Для преодоления этого видимого противоречия имеются различные пути; одному из них мы сейчас и последуем.

Наш подход будет состоять в том, что в качестве первого шага предусматривается некоторая аксиоматизация теории множеств, позволяющая затем уже определять интересующие нас теории посредством теоретико-множественных предикатов. Мы не будем здесь излагать никакой определенной аксиоматизации теории множеств; мы только заверим читателя, что такую аксиоматизацию можно провести, и притом так, что 1) всех нежелательных ситуаций (например, парадокса Рассела) удается, по всей видимости, избежать и 2) все желательные ситуации, совместимые с выполнением условия 1), сохраняются. Итак, будем исходить из того, что мы уже располагаем такой неформальной теорией множеств. Сделаем теперь одно замечание общего характера (подтверждаемое, в частности, рассмотрением теорий, описанных в примерах А, В и С предыдущего параграфа). Первичные термины большинства математических теорий представляют собой некоторое множество X и определенным образом связанные с X константы. Константы эти могут быть различных типов: элементы множества X (скажем, единичный элемент группы), подмножества множества X, семейства подмножеств множества X (например, совокупность всех прямых аффинной геометрии) подмножества множества XN для некоторого П (сюда входят отношения в X и операции в X) и др. Константы служат основой для фиксирования структуры множества X (являющейся предметом изучения данной теории). Сама структура задается аксиомами, являющимися допущениями относительно X и констант (в том числе, быть может, о наличии некоторых соотношений между ними). Короче говоря, теория множеств, охватывающая интуитивную теорию множеств, достаточно богата для описания самых разнообразных математических теорий. Рассмотрим два примера определения математических теорий в рамках теории множеств. Первый пример-теория частично упорядоченных множеств. Чисто теоретико-множественный характер предиката «быть частично упорядоченным множеством» со всей очевидностью усматривается из следующего определения.

Определение А. U есть частично упорядоченное множество, если U есть упорядоченная пара такая, что X — некоторое множество, — бинарное отношение, причем

O1. рефлексивно в X;

O2. антисимметрично в X;

О3. транзитивно в X.

Это определение иллюстрирует соглашение, которому мы будем следовать: основное множество берется в качестве первой координаты упорядоченной N-Ки, а связанные с этим множеством константы, в некотором определенном порядке, — в качестве остальных координат.

Определению А можно придать несколько другую, более близкую к обычной математической практике форму условного определения.

Определение В. Пусть X — множество, а - бинарное отношение. Тогда есть частично упорядоченное множество, если

O1. рефлексивно в X;

O2. антисимметрично в X;

О3. транзитивно в X.

Определение это - условное в том смысле, что собственно определению предпосылается некоторая гипотеза. Когда определение формулируется таким образом, то в формулировке теорем теории гипотезу эту обычно опускают.

Второй наш пример относится к определению теории групп, исходящему из той аксиоматизации этой теории, которая описана в примере А предыдущего параграфа.

Определение С. G есть группа, если G есть упорядоченная тройка где Х - некоторое множество, ∙- бинарная операция в X, Е-элемент множества А, причем

G1 для любых А, B и С из X A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C;

G2 для любого А из X ае = еа = а;

G3 для каждого А из X существует такой элемент Аґ из X, что А ∙ аґ = аґ ∙ а = Е.

Нередко пользуются и каким-либо равносильным видоизменением этого определения вроде, скажем, следующего:

Определение D. Множество X есть группа относительно бинарной операции, если.....

Предикат здесь описан таким образом, что его следует относить к множеству X как таковому, называя группой само множество. Строго говоря, это неверно, но это молчаливое соглашение освящено давней традицией.

В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний. Во-первых, когда какая-нибудь математическая теория формулируется в рамках теории множеств, высказывания, которые мы вначале называли аксиомами этой теории, теперь выступают в качестве составных частей ее определения. Затем надо заметить, что само выражение «первичный термин» оказывается теперь не совсем уместным, поскольку в этих условиях единственными первичными терминами являются первичные термины теории множеств. Однако на практике (которой придерживаемся и мы) это обстоятельство обычно игнорируют. Отметим также, что, когда теория формулируется в рамках теории множеств, теоремы этой теории принимают вид условных предложений. Например, произвольная теорема теории групп формулируется теперь так: «Если G есть группа, то...». Наконец, отметим, что если теория T определяется посредством некоторого теоретико-множественного предиката, то модели теории T — это просто объекты, удовлетворяющие этому предикату. Например, для теории групп это обстоятельство выражается следующим тривиальным образом: если — группа, то есть модель теории групп.

Упражнения

В этих упражнениях рассматривается теория линейно упорядоченных коммутативных групп. Понятие это можно определить следующим образом: G есть линейно упорядоченная коммутативная группа (л. у.к. г.), если G = причем

SG1. есть коммутативная группа;

SG2. есть линейно упорядоченное множество;

SG3. Для любых А, B и С из G из А < B Следует А + с < B + с (здесь «А < B» есть сокращение для «А ≤ B и а ≠ B).

Все результаты, полученные выше для групп, в частности для коммутативных групп, могут быть в случае необходимости использованы. Аналогично можно пользоваться и установленными ранее свойствами частично упорядоченных множеств.

1. Укажите два примера л. у.к. г., состоящих из действительных чисел.

2. Пусть есть л. у.к. г. Определим G+ как {aG | 0 < a}. Докажите следующие свойства G+.

(a) Если aG+, то - aG+.

(b) Если а ≠ О, то либо aG+, либо - aG+.

3. Доказать следующие свойства л. у.к. г.

(a) Если а < b, то а - с < b - с.

(b) Если a + c < b + c, то а < b.

(d) Если a < b, то — b < — а.

4. Доказать следующую теорему: если G имеет более одного элемента и есть л. у. к. г., то G имеет бесконечно много элементов.

< Предыдущая		Следующая >