23. Дальнейшие свойства неформальных теорий

В этом параграфе мы введем несколько понятий, относящихся к неформальным аксиоматическим теориям. Понятия эти позволяют определенным образом классифицировать аксиоматические теории по их свойствам и возможностям.

Пусть S — высказывание некоторой теории T, обладающее тем свойством, что как S, так и ~ S являются теоремами этой теории. В таком случае, если используемая в теории логическая система включает в себя исчисление высказываний с modus ponens в качестве правила вывода, то любое предложение Т этой теории является теоремой. В самом деле, S → (~S → Т) есть теорема, так как это высказывание — тавтология; пользуясь дважды правилом modus ponens, выводим Т в качестве теоремы. Теория T называется противоречивой (или несовместной), если она содержит такое высказывание S, что как S, так и его отрицание ~ S являются теоремами. Теория, не являющаяся противоречивой, называется непротиворечивой (или совместной); иными словами, в непротиворечивой теории нет такого высказывания S, что и S и ~S являются теоремами.

Поскольку во всех теориях, которые нам предстоит рассматривать, используется логический аппарат исчисления высказываний, противоречивые теории следует считать не имеющими никакой ценности, так как любое предложение такой теории есть теорема. Таким образом, проблема установления непротиворечивости теории приобретает первостепенную важность. Для неформальных (аксиоматических) теорий вопрос этот во многих случаях удается решить с помощью понятия модели. В самом деле, если теория противоречива, каждая ее модель содержит противоречие, так как пара противоречащих друг другу теорем теории переводится в два противоречащих друг другу высказывания о модели. Значит, теория непротиворечива, если для нее удается указать свободную от противоречий модель. Если для теории можно найти такую интерпретацию, что интерпретацией для X служит конечное множество, то можно рассчитывать на то, что вопрос об отсутствии в этой интерпретации противоречий удастся решить непосредственным ее рассмотрением. Например, то обстоятельство, что одноэлементное множество, состоящее из единственного предмета е, вместе с определенной на нем операцией Е ∙ е = е является моделью теории групп, позволяет без всяких колебаний решить в положительную сторону вопрос о непротиворечивости теории групп. Однако в других случаях обоснование непротиворечивости модели (т. е. отсутствие в ней противоречий) может быть достигнуто лишь посредством сложной цепи далеко не очевидных рассуждений. Это может иметь место, например, в том случае, когда теория имеет только бесконечные модели (т. е. такие модели, в которых интерпретации предметной области теории бесконечны). Таким образом, во многих случаях попытки установления непротиворечивости с помощью модели по самому своему существу имеют относительную ценность: теория непротиворечива, если непротиворечива сама модель. Рассмотрим несколько примеров. Как уже было сказано в § 3.1, можно предложить интерпретацию геометрии Бойаи-Лобачевского средствами геометрии Евклида. Тем самым установлена относительная непротиворечивость геометрии Бойаи-Лобачевского: она непротиворечива, если непротиворечива евклидова геометрия. Непротиворечивость же евклидовой геометрии (точное описание которой было дано в 1899 году немецким математиком Д. Гильбертом в его Grundlagen der Geometrie) никогда не была доказана, хотя почти все «уверены» в ее непротиворечивости. Доказательство ее относительной непротиворечивости может быть получено с помощью интерпретации, при которой точки интерпретируются посредством упорядоченных пар действительных чисел, а прямые — посредством отношений, определяемых линейными уравнениями; разумеется, эта интерпретация по существу содержится в хорошо известной идее декартовой координатной системы в евклидовой геометрии. Но непротиворечивость системы действительных чисел также до сих пор не доказана, так что мы можем лишь сказать, что евклидова геометрия непротиворечива при условии непротиворечивости системы действительных чисел. Таким же или каким-либо другим образом непротиворечивость обширных областей классической математики сводится в конечном счете к непротиворечивости арифметики натуральных чисел, например, к теории, основанной на аксиомах Пеано, или к теории множеств, достаточно сильной, чтобы вывести ее средствами пеановские аксиомы.

В предположении, что непротиворечивость некоторой теории доказана или хотя бы принята на веру, имеет смысл поставить проблему полноты этой теории. Теория называется полной, если она содержит достаточное для какой-нибудь цели количество теорем. Исходя из различных целей, которые мы ставим при построении теории, мы приходим к различным техническим значениям понятия полноты. Ограничимся следующим из возможных определений: теория T называется полной, если для любого высказывания S этой теории либо S, либо ~ S есть теорема. Определение это исходит из того обстоятельства, что любое высказывание S Теории T, будучи интерпретировано в некоторой модели, оказывается непременно либо истинным, либо ложным. Следовательно, в этом случае либо S, либо ~S оказывается истинным и должно быть теоремой в теории T. Теория, являющаяся одновременно непротиворечивой и полной, является максимальной в отношении непротиворечивости — в том смысле, что добавление к такой теории в качестве аксиомы любого предложения, которое можно в ней сформулировать, но не являющегося ее теоремой, приводит к противоречивой теории. Проблема полноты может быть лучше всего рассмотрена по отношению к таким аксиоматическим теориям, в которые явным образом включена используемая теория логического вывода. Такие теории мы будем рассматривать в следующем параграфе. Пока же мы ограничимся замечанием, что для многих важных математических теорий задача сочетания обоих названных качеств — непротиворечивости и полноты — оказывается невыполнимой.

Приведенной здесь краткой характеристики понятия полноты оказывается вполне достаточно для обсуждения следующего понятия, относящегося к аксиоматическим теориям. Понятие это характеризует теорию относительно той цели, ради которой теория строилась. Если исходить из того, что аксиоматическая теория предназначается для формализации некоторой интуитивной теории, тогда мерой успешности этой аксиоматизации служит неразличимость любых двух моделей этой теории (с точностью до терминологии и обозначений). В таком случае мы можем сказать, что первичные термины и аксиомы дают исчерпывающую совокупность основных принципов интуитивной теории. Этот тип неразличимости двух моделей известен под именем изоморфизма. Попытка предложить точное определение этого понятия, покрывающее все мыслимые ситуации, где оно может встретиться, была бы слишком затруднительной для осуществления. По этой причине мы предпочитаем дать несколько определений, относящихся к различным интересующим нас случаям употребления термина «изоморфизм». Мы ограничимся тремя такими точными определениями (обозначаемыми ниже, соответственно, через и ), предоставляя читателю распространять эти определения естественным образом на более сложные ситуации.

Пусть и суть две модели какой-либо теории, первичными терминами которой являются некоторое множество и определенное на нем отношение. Тогда изоморфна , если существует такая функция F, что:

1) F есть взаимно-однозначное соответствие между Х1 и Х2;

2) из Х, у и следует F F (Y);

3) из х, и следует FF.

Это определение покрывает, в частности, то, которое было дано выше (§ 1.10) для частично упорядоченных множеств. Оно приложимо к случаю, когда — есть функция, определенная на со значениями в . Для этого случая, как читатель может легко проверить, оно может быть упрощено следующим образом.

Пусть и суть две модели какой-либо теории, первичными терминами которой являются некоторое множество и функция, отображающая это множество в себя. Тогда изоморфна , если существует такая функция F, что:

1) F есть взаимно-однозначное соответствие между Х1 и X2;

2) из xX1 следует

Как видим, в этом случае для установления изоморфизма двух моделей достаточно доказать выполнение только одного из условий 2) и 3) определения I1; второе из этих условий, характеризующее симметричность, присущую понятию изоморфизма, немедленно вытекает из первого.

I2. Пусть и суть две модели какой-либо теории, первичными терминами которой являются некоторое множество и бинарная операция в этом множестве. Тогда изоморфна , если существует такая функция F, что:

1) F есть взаимно-однозначное соответствие между X1 и Х2;

2) из х, уX1 следует F = F F (Y).

Предоставляем читателю убедиться в том, что эта формулировка понятия изоморфизма характеризует его как отношение эквивалентности в произвольной совокупности моделей рассматриваемой теории, В частности, поэтому, как и в приведенном выше частном случае определения I1, отсюда автоматически следует симметричность понятия изоморфизма.

I3. Пусть и суть две модели какой-либо теории, первичными терминами которой являются два множества и отношение, областью определения которого служит одно из этих множеств, а областью значений — второе. Тогда изоморфна , если существует такая функция F, что:

1) F есть взаимно-однозначное соответствие между и , причем F(X1) = Х2 и F (Y1) = Y2;

2) F сохраняет отношения 1 и 2 в смысле определения I1.

Это, конечно, не единственный возможный вариант определения изоморфизма для моделей указанного вида. Данное определение относится к сохранению теоретико-множественных взаимосвязей между множествами И .

Аксиоматическая теория, две любые модели которой изоморфны, называется категоричной. Таким образом, категоричная теория имеет по существу единственную модель. Именно достижение такой ситуации преследуется при аксиоматизации некоторых интуитивных теорий, скажем, евклидовой геометрии или теории действительных чисел. Простой пример категоричной теории можно получить, добавив к пяти аксиомам аффинной геометрии (пример В из § 3.2) следующую аксиому:

AG6. Множество Р имеет в точности четыре элемента.

Получающаяся в результате теория непротиворечива — это видно из рассмотрения ее модели, приведенной после примера С из § 3.2. Доказательство категоричности этой теории предоставляем читателю.

Некатегоричная теория имеет существенно различные (т. е. неизоморфные) модели. Это как раз то, что следует ожидать от теории, предназначенной для аксиоматизации общих свойств нескольких различных теорий. Превосходным примером такой теории служит теория групп. Именно в силу своего общего характера она имеет разнообразные модели, что и обусловливает многообразие ее применений.

В заключение этого параграфа — несколько дополнительных замечаний. Первое из них ставит своей целью уточнение смысла неоднократно употреблявшегося нами слова «формулировка». Как уже говорилось, неформальная теория T включает в себя некоторый список ТО неопределяемых терминов, список T1 определяемых терминов, список Ро аксиом и список Р1 всех остальных высказываний, которые можно вывести из РО по некоторым фиксированным логическим правилам. Назначение множества ТО состоит в том, чтобы получить из него множество всех используемых в теории T терминов; аналогично, множество Р0 нужно для получения множества Ро Р1 всех теорем теории T, Упорядоченную пару мы и предлагаем называть «формулировкой» теории T. Изучение теории T может привести нас к обнаружению самых разнообразных и полезных других ее формулировок. Задание какой-либо из этих формулировок равносильно заданию 1) некоторого подмножества множества (могущего как отличаться от То, так и совпадать с ним) и 2) подмножества Р'о множества P0P1 состоящего из высказываний, выразимых в терминах элементов множества , причем из высказываний, входящих в Р'о, можно вывести все остальные теоремы данной теории. Чтобы пара вида была формулировкой теории T, достаточно, очевидно, чтобы термины из ТО могли быть определены через термины из Т'о и чтобы высказывания из РО могли быть выведены из высказываний из Р'о. Для многих общеизвестных аксиоматических теорий имеются различные формулировки. Примером может служить теория булевых алгебр, которой посвящена глава IV. Довольно тривиальный пример такого рода, приведенный в§ 1.10, уместно будет здесь напомнить: в качестве формулировки теории частично упорядоченных множеств, отличной от основной, мы можем взять формулировку, в которую входит некоторое множество X вместе с некоторым отношением, иррефлексивным и транзитивным на X (см. упражнение 3 к § 1.10). Другой пример неявным образом содержится в замечании, сделанном нами в § 3.1, сводящемся по существу к тому, что Гильбертом и Пиери были предложены различные формулировки теории, аксиоматизирующей интуитивную евклидову геометрию.

Различные формулировки какой-либо теории - это не что иное, как различные возможные подходы к одной и той же математической структуре. В зависимости от принятых критериев можно предпочесть ту или иную из таких различных формулировок. Основаниями для такого предпочтения могут, например, служить соображения эстетического характера; важную роль может здесь играть и желание иметь как можно более простое множество аксиом, а также возможность более изящных доказательств теорем. Одни исследователи предпочитают какую-либо конкретную формулировку теории, находя ее более «естественной», нежели остальные. Другие стремятся располагать формулировкой, включающей минимальное количество первичных терминов или аксиом.

Формулировки неформальной теории можно характеризовать с помощью такого понятия, как независимость множества аксиом. Множество аксиом называется независимым, если исключение любой из аксиом из этого множества приводит к уменьшению запаса теорем; в противном случае множество аксиом называют зависимым. Отдельная аксиома (рассматриваемая как элемент множества аксиом некоторой формулировки) независима, если ее исключение из этого множества уменьшает запас теорем, и зависима в противном случае. Ясно, что независимая аксиома не может быть выведена из остальных аксиом. Разумеется, независимость какого-либо множества аксиом равносильна тому, что независима каждая аксиома из этого множества. Для установления независимости аксиом можно пользоваться моделями. Например, независимость аксиом О1, О2, О3 теории частично упорядоченных множеств (см. § 3.3) может быть доказана посредством построения такой модели для каждой из трех теорий, содержащих в точности два из высказываний О1, О2, О3 в качестве аксиом, в которой интерпретация опущенной аксиомы является ложной. Независимость множества аксиом свидетельствует в известном смысле об изяществе содержащей это множество формулировки теории. Зависимое множество аксиом попросту содержит одну или более излишних аксиом, но сама теория не становится от этого сложнее.

В целях мотивировки нашего последнего замечания мы напомним читателю теорему 1.7, согласно которой каждое частично упорядоченное множество изоморфно некоторой системе множеств, частично упорядоченной включением. Иными словами, с точностью до изоморфизма все модели теории частично упорядоченных множеств представляются посредством систем множеств. Вообще, теоремы, согласно которым для данной аксиоматической теории T некоторое определенное подмножество множества всех ее моделей обладает тем свойством, что каждая модель теории S изоморфна некоторому элементу этого подмножества, носят наименование теорем о представлении теории T. Аналогично тому, как это имеет место для теории частично упорядоченных множеств, для которой обладающее только что упомянутым свойством подмножество множества ее моделей состоит из систем множеств, для случая произвольной теории Ј, даже если она и некатегорична, какой-либо частный тип ее моделей может оказаться в каком-то смысле более естественным. В этой связи встает проблема о представлении — вопрос о возможности доказать теорему о представлении теории T, согласно которой этот «более естественный» класс моделей давал бы — с точностью до изоморфизма — все модели теории T. В тех случаях, когда такая проблема решается в положительном смысле, для T открывается возможность доказательства новых теорем посредством перенесения методов доказательств, применимых к такому «представляющему» классу моделей, на произвольные модели.

Упражнения

1. (а) Установить непротиворечивость теории частично упорядоченных множеств посредством какой-нибудь модели.

(b) Показать, что теория частично упорядоченных множеств не категорична.

2. (а) Показать, что теория групп не категорична.

(b) Определяя группу как упорядоченную тройку , для которой имеют место G1, G2, и G3 из примера А § 3.2, установить независимость множества {G1, G2, и G3}. (Указание. Для задания операции в каждом из вводимых множеств воспользоваться таблицей умножения.)

3. Рассмотрим аксиоматическую теорию, имеющую в качестве первичных терминов два множества А и B, а в качестве аксиом следующие высказывания:

1) Каждый элемент множества B есть двухэлементное подмножество множества А.

2) Если А и А/ — различные элементы множества A, то {а, а/}B.

3) АB.

4) Если В и В' - различные элементы множества B, то В В'А. Показать непротиворечивость этой теории. Категорична ли она?

< Предыдущая		Следующая >