21. Неформальная аксиоматика

Если при описании какой-либо аксиоматической теории используемая система логических правил предполагается уже известной, мы будем говорить, что эта теория есть неформальная (содержательная) теория. В математической практике аксиоматические теории обычно описываются в виде неформальных теорий; что же касается предполагаемой при этом логики, то обычно считается, что это та интуитивная логика, которая усваивается в ходе изучения математики! Сказанное отнюдь не имеет характер порочного круга, как это может показаться вначале. Из сказанного в главе II ясно, что логическая система, пригодная для большей части математики, может быть описана в точных терминах (что и будет вкратце сделано ниже, в настоящей главе). Более того, можно привести многочисленные доводы в защиту мнения, согласно которому точное определение логической правильности, выдвигаемое символической логикой, хорошо согласуется с тем интуитивным представлением о строгости рассуждений, которым пользуются математики. Многочисленные примеры, подтверждающие тот тезис, что логические принципы, считающиеся строгими большинством математиков, принимаются в качестве таковых в символической логике (и наоборот), собраны в книге Дж. Б. Россера Logic for Mathematicians. На наш взгляд, не будет преувеличением сказать, что в глазах подавляющего большинства математиков современная символическая логика есть попросту формализация того интуитивного способа рассуждений, которого они фактически всегда придерживаются. Это мнение, правда, не выглядит столь убедительным по отношению к тем математикам, которые проводят формальные доказательства и используют для проверки их правильности формальные процедуры исчисления предикатов. Однако и для таких математиков проверка доказательств формальными, механическими методами играет скорее роль некоторой страховки в сложной цепи рассуждений, дополняющей в сложных случаях содержательные методы рассуждений, но не подменяющей их.

Опишем теперь несколько конкретных примеров неформальных

Теорий.

Пример А

Наш первый пример неформальной теории основан на сходстве, обнаруживаемом в двух хорошо известных математических системах. Первая система — это множество G (X) всех взаимно - однозначных отображений некоторого непустого множества X на себя, рассматриваемое вместе с функциональной композицией. Вторая система-множество Z целых чисел, рассматриваемое вместе с определенной на этом множестве обычной операцией сложения. На основании результатов, полученных нами в главе I, и того, что мы знаем о числовой системе, мы можем утверждать: 1) каждая из упомянутых операций есть бинарная операция в соответствующем множестве; 2) каждая из этих операций ассоциативна; 3) в каждом из этих множеств есть некоторый особый элемент (а именно, Ix — в множестве G (X) и 0 — в множестве Z), обладающий тем свойством, что операция, примененная к этому элементу и любому другому элементу рассматриваемого множества, дает в результате снова этот другой элемент; 4) для каждого элемента обоих из названных множеств существует такой элемент из того же множества, что в результате применения к такой паре элементов рассматриваемой операции получается указанный в 3) особый элемент соответствующего множества [а именно и ].

Это сходство можно положить в основу описания аксиоматической теории, известной под именем теории групп. В качестве первичных терминов мы выбираем некоторое (непустое) множество G, бинарную операцию, для которой мы будем использовать «мультипликативное» обозначение (т. е. обозначать ее точкой ∙, как обычный знак умножения), и некоторый элемент Е множества G. Аксиомы этой теории имеют следующий вид:

GO. Для любых А и B из G произведение а ∙ B есть однозначно определенный элемент из G.

G1. Для любых А и B из G a ∙ (b ∙ c) — (a ∙ b) ∙ c.

G2. Для любого А из G а ∙ Е = E ∙ а = А.

G3. Для любого А из G имеется такой элемент Аґ из G, что А ∙ а' = AҐ ∙ а = е.

Приведенные нами аксиомы - те самые, с которых начинается описание теории групп в любом учебнике алгебры. Элемент, удовлетворяющий аксиоме G2, называют единичным элементом (или просто единицей) для G, а элемент, удовлетворяющий аксиоме G3 для какого-либо данного элемента А, - обратным для А элементом (относительно Е). Термин «бинарная операция» означает просто функцию F, определенную на GxG. Значение этой функции на А, B записывается с помощью символов, использованных выше для ее определения, как А ∙ B, или просто Ab.

Тогда Go есть условие, согласно которому Ab G, т. е. что F есть бинарная операция в G (если пользоваться терминологией главы I). В качестве альтернативной формулировки мы можем сказать, что есть бинарная операция в G (что неявно содержится в GO), и рассматривать тогда G1 G2 и G3 в качестве аксиом.

Докажем несколько основных теорем теории групп.

G4. В группе имеется ровно один единичный элемент.

Доказательство. Ввиду G2 нам нужно доказать лишь единственность. Допустим, что в G имеются две единицы: Е1 и Е2. Тогда дли любого А е1а = а и Ае2 = А. В частности, Eie2 = E2 и Е1е2 = е1. Следовательно, в силу GO и свойств равенства, Е1 = е2.

G5. Для каждого элемента группы имеется ровно один обратный.

Доказательство. Поскольку существование обратного элемента для каждого элемента утверждается аксиомой G3, остается доказать лишь его единственность. Пусть А' и А" суть два обратных элемента для А. Тогда А"а = е и Аа' = е. В силу G1 (А"а) А' = а" (Аа') и, следовательно, Еа' = а"е. Согласно G2 из этого следует А' = а".

В мультипликативных обозначениях обратный элемент для А обозначают через А-1; таким образом, А-1а = аа-1 = Е (здесь Е — единственная единица из G).

G6. Для любых элементов A, B и С группы G из Ab = Ac следует B = с и из BА = са следует B = с.

Доказательство. Пусть Ab = Ac. Тогда A-1 (Ab) = (A-1A)B = Eb = B. С другой стороны, A-1 (Ab) = A-1 (Ac) = (а-1а)с = ес = с. Следовательно, B = с. Второе утверждение теоремы доказывается точно так же.

Предлагаем в качестве упражнений доказать следующие две теоремы.

G7 Для любых элементов А и B из G каждое из уравнений Ах = B и Уа = B имеет в G единственное решение.

G8. Для любых элементов А и B из G (Ab)-1 = B-1A-1.

Пример В

Теория, которую мы теперь опишем, имеет своим источником обычную евклидову геометрию плоскости. Речь пойдет об одном обобщении евклидовой геометрии, известном под именем аффинной геометрии. Первичными терминами этой теории являются: множество P (элементы которого, называемые точками, будут обозначаться прописными латинскими буквами Р, Q,...), множество L (элементы которого, называемые прямыми, будут обозначаться строчными латинскими буквами L, M,...) и множество I, называемое отношением инцидентности). Аксиомы теории:

AG1. I P L (I Читается «P лежит на L», или «L содержит Р», или «L проходит через Р»).

AG2. Для любых двух различных точек Р и Q существует в точности одна прямая, проходящая через Р и Q (такая прямая будет обозначаться через P + Q).

AG3. Для любой точки Р и любой прямой L существует в точности одна прямая M, проходящая через Р и параллельная прямой L (т. е. либо M = 1, либо не существует точек, лежащих на обеих прямых L И M).

AG4. Если А, В, С, D, Е и F суть шесть различных точек, причем А + В параллельна C + D, C + D параллельна E + F, А+С параллельна B + D и С + Е параллельна D + F, то А+Е параллельна B + F.

AG5. Существуют три различные точки, не лежащие на одной прямой.

Ниже, в упражнениях, сформулировано несколько простых теорем, доказываемых с помощью этих аксиом.

Пример С

Теория, которую мы сейчас введем, исходит из свойств последовательности натуральных чисел. Более того, ею можно воспользоваться как основой для аксиоматизации системы натуральных чисел. Первичными ее терминами служат два множества X и S, а аксиомы имеют следующий вид:

Р1. S есть функция, определенная на X со значениями в X.

Р3. Х - S[Х] ≠ .

Р3 S Взаимно - однозначна.

Р4. Если и , то

Эти аксиомы по существу совпадают со знаменитыми аксиомами Пеано для натурального ряда. Теория эта была развита итальянским математиком и логиком Дж. Пеано в его книге, вышедшей в свет в 1889 году. Сами же аксиомы были предложены в 1888 году немецким математиком Р. Дедекиндом.

Поскольку аксиоматические теории имеют зачастую весьма сложное строение, они заслуживают, чтобы их обозначали специальными символами. По мнению автора, для этого подходят прописные готические буквы. Пусть имеется неформальная теория T. Приписывание значений первичным терминам теории T называется интерпретацией теории T. Если некоторая совокупность предметов, выбранных в качестве значений первичных терминов теории T, т. е. в качестве ее интерпретации, удовлетворяет аксиомам теории T, она называется моделью теории T. Эти определения можно следующим образом переформулировать в функциональных терминах. Интерпретация теории T — это просто функция, областью определения которой является множество Т первичных терминов теории T. Если же F [T] удовлетворяет аксиомам теории T, то это модель теории T. В рассмотренном выше примере А множество G(X), рассматриваемое вместе с операцией функциональной композиции и функцией IX, является моделью теории групп, или, проще, группой. Аналогично, Z с операцией сложения и числом 0 также есть группа. Далее, R +, рассматриваемое вместе с обычной операцией умножения и числом 1, также является группой. Наконец, множество всех подмножеств любого непустого множества вместе с определенной на нем операцией симметрической разности и множеством также является группой.

Если обратиться к примеру В, то каждый, хоть в какой-то мере знакомый с евклидовой геометрией, согласится, что евклидова геометрия есть аффинная геометрия. Совершенно другого рода модель мы получим, взяв P = {1, 2, 3, 4}, L = {{1, 2}, {1, 3}, {1,4}, {2,3}, {2, 4}, {3, 4}} и положив, по определению, что «Р лежит на L» означает РL. Проверка того обстоятельства, что все аксиомы аффинной геометрии будут удовлетворены, предоставляется читателю.

Возьмем, наконец, наш пример С. Если интерпретировать X как множество N = {0, 1, 2,...} натуральных чисел, a S интерпретировать как функцию следования (т. е. S(X) = X+1), то аксиомы будут выражать общеизвестные свойства натурального ряда. Поскольку N — S[N] = {0}, аксиому Р4 можно теперь сформулировать более просто: если М есть такое множество натуральных чисел, что 0М и из kM следует k+1М, то M = N. Это не что иное, как принцип математической индукции для N. Другую модель рассматриваемой теории мы получим, взяв в качестве X последовательность {} (где а и r — произвольные не равные нулю действительные числа), а в качестве S — такую функцию, что S(ArN) = Arn+1.

С помощью понятия модели можно следующим образом выразить обстоятельство, на которое мы обращали внимание в предыдущем параграфе. Если M есть модель аксиоматической теории T, то из каждой теоремы теории T мы получаем теорему для M, приписывая каждому первичному термину теории T его значение в соответствии с данной интерпретацией. Рассмотрим, например, теорему G8 из примера А. Если мы возьмем в качестве G множество G (X), а в качестве определенной на нем операции — функциональную композицию, то G8 перейдет в теорему, утверждающую, что для любых функций F и G в G (X) (GF)-1 = F-1 Og-1. Этот важный частный случай теоремы G8 мы уже получили выше, в § 1.9 (перед примерами В). Если же, далее, взять в качестве G множество Z, а в качестве определенной на нем операции - обычное сложение, то G8 даст нам, что — (А + B) = ( - B) + ( - А). Таким образом, оба эти результата, кажущиеся столь различными, являются частными случаями одного и того же общего результата.

Упражнения

1. Доказать теоремы G7 и G8 из примера А.

2. Теория коммутативных (или абелевых - ср. с упр. 3 к § 2.7) групп отличается от теории групп добавлением еще одной аксиомы:

G9 Для любых А и B из G Ab = Ba.

Для обозначения операции в коммутативной группе обычно используют аддитивные обозначения (т. е. вместо Ab Пишут А + B), пишут О вместо Е и - А вместо А-1.

Пусть G вместе с + и 0 есть коммутативная группа. Докажите следующие теоремы.

(a) _- (а + B) = ( - а)+( - B).

(b) Если вместо «А + (а – B)» сокращенно писать «A – B», то A + B = с равносильно B = с — А.

(c) А — ( - b) = a + b и - (a - b) = b — A.

(d) Если F: G→G, где F'(A) = — A, то F есть взаимно-однозначное отображение со значениями На.

< Предыдущая		Следующая >