20. Понятие аксиоматической теории

Понятие, к описанию которого мы приступаем, восходит к методу, использованному Евклидом при изложении классической геометрии греков. Его «Начала» построены следующим образом. Сначала даются определения (по всей вероятности, считавшиеся Евклидом удовлетворительными) некоторых первичных терминов, таких, как точка, прямая и плоскость. Затем описываются различные свойства этих первичных терминов (некоторые из этих описаний Евклид называл аксиомами, другие - постулатами). Очевидно, утверждения о наличии этих свойств воспринимались как истинные на основании смысла предложенных определений рассматриваемых терминов. Далее, с помощью первичных терминов определялись некоторые другие понятия, а из аксиом и постулатов выводились логическим путем описания новых свойств, называемые теоремами. Поскольку предполагалось, что геометрия Евклида есть описание реального физического пространства, в котором мы живем, вполне естественно, что Евклид полагал значение таких терминов, как «точка» и «прямая», достаточно ясным, а относящиеся к ним аксиомы считал «самоочевидными истинами». Такое отношение к аксиомам и в наше время достаточно распространено. В самом деле, нет ничего более привычного, чем встретить в обычном нематематическом тексте фразы вроде «Это аксиома, что...» или «Это основной постулат...», расцениваемые их авторами как утверждения, застрахованные от каких бы ни было сомнений в их истинности. Внутри же математики этот взгляд на аксиомы претерпел самые решительные изменения. Эта эволюция точки зрения на аксиомы была постепенной; связана она прежде всего с осознанием открытия, сделанного Я. Бойаи и (независимо от него) Н. И. Лобачевским — открытия неевклидовой геометрии. Суть этого открытия состояла в следующем.

В традиционном понимании неевклидова геометрия — это геометрия, формулируемая в точности так же, как геометрия Евклида, но за одним исключением: пятый постулат Евклида («постулат о параллельных») в этой геометрии отрицается. Формулировка пятого постулата такова: «Если две прямые пересекаются третьей прямой таким образом, что сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых углов, то эти прямые, если их продолжить, пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых углов». Другая, эквивалентная формулировка этого постулата (под эквивалентностью двух формулировок здесь понимается возможность получить из любой из них, присоединенной к остальным постулатам, другую формулировку), более удобная для интересующих нас целей сравнения, гласит: «Если на плоскости точка А не лежит на прямой L, то существует в точности одна прямая, проходящая через А и параллельная L». Эта формулировка — одна из многочисленных эквивалентных форм постулата о параллельных, полученных в качестве побочного результата безуспешных попыток удостовериться в том, что постулат о параллельных можно вывести из остальных евклидовских аксиом. Бойаи и Лобачевский подорвали эту уверенность, развив геометрию, в которой постулат о параллельных заменен предложением: «Если на плоскости точка А не лежит на прямой L, то существует более чем одна прямая, проходящая через А и параллельная L». Естественно, «истинность» этой новой геометрии казалась вначале сомнительной. Однако никакие измерения, производимые в доступной нам части физического пространства, не смогли выявить каких-либо заметных расхождений между прогнозами, исходящими из геометрии Бойаи - Лобачевского и евклидовой геометрии. К тому же каждая из этих геометрий, рассматриваемая как дедуктивная система, оказалась непротиворечивой — во всяком случае, ни в одной из них не было обнаружено никаких противоречивых предложений. Возможность рассматривать эти геометрические системы с такой точки зрения явилась несомненным прогрессом; она по существу означает отказ от непременного приписывания какого-либо физического смысла таким исходным понятиям, как точка, прямая и т. п.

Следующим достижением на пути укрепления позиций, связанных с аксиоматическим методом, оказалось построение различных моделей геометрии Бойаи - Лобачевского средствами геометрии Евклида. Типичным примером такого рода моделей является модель, предложенная в 1871 году Феликсом Клейном; в этой модели первичные термины: плоскость, точка и прямая — интерпретируются, соответственно, как внутренность какого-нибудь круга в евклидовой плоскости, евклидова точка внутри этого круга и хорда этого круга, рассматриваемая без своих концов. Если определить теперь в этой модели расстояния и углы согласно формулам, предложенным в 1859 году А. Кэли, то все аксиомы планиметрии Бойаи-Лобачевского оказываются истинными предложениями. Из этой интерпретации сразу вытекает относительная непротиворечивость (это понятие будет подробно описано ниже) геометрии Бойаи-Лобачевского. Это означает, что если евклидова геометрия представляет собой непротиворечивую логическую систему, то таковой является и геометрия Бойаи — Лобачевского. Осознание возможности приписывать различные значения первичным терминам аксиоматической теории сыграло громадную роль в понимании сущности аксиоматических теорий и позволило сосредоточить внимание математиков на их дедуктивном строении.

Эта эволюция взглядов на природу аксиоматического метода привела к следующей концепции аксиоматической теории. Слово «теория» понимается теперь в определенном специальном смысле; термин этот применяют по отношению к двум множествам высказываний, одно из которых есть истинное подмножество другого. Большее (объемлющее) множество высказываний определяет предметную область теории. Элементы же меньшего (охватываемого) множества высказываний — это те высказывания теории, которые считаются в ней истинными или доказуемыми. В нематематических науках высказывания этого рода представляют собой истинные высказывания о внешнем мире, и истинность их устанавливается в конечном счете на опыте. В аксиоматической же теории высказывания, принадлежащие к этому меньшему множеству, называются доказуемыми высказываниями, или теоремами; они определяются как высказывания, выводимые чисто логическим путем из некоторых заранее выбранных и фиксированных высказываний, называемых аксиомами. В аксиоматической теории, как таковой, понятию истинности просто нет места — понятие истинного высказывания имеет смысл лишь в связи с возможными приложениями теории. Во всяком случае, коль скоро аксиомы предполагаются истинными, то истинными должны быть и теоремы (при условии, конечно, что принятая нами логика обеспечивает правильность умозаключений), так как теоремы чисто логически следуют из аксиом. Сказанное приводит нас к точной формулировке понятия теоремы. Сначала, однако, мы определим понятие доказательства. (Формальным) доказательством мы будем называть конечную последовательность S1, S2,..., Sk высказываний рассматриваемой теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по логическим правилам вывода. Теоремой, или доказуемым высказыванием, называется высказывание, являющееся последним высказыванием некоторого доказательства. Отметим сразу же, что любая аксиома является теоремой, причем доказательство ее состоит из одного шага.

Теперь мы введем одно обобщение понятия доказуемого высказывания. Пусть Г — конечное множество высказываний какой-либо аксиоматической теории. Тогда говорят, что предложение С выводимо из Г, что обозначается через

Г|—С,

Если существует конечная последовательность высказываний S1, S2,..., Sk, в которой Sk есть С, а каждое из Si (I ≤ k) есть либо аксиома, либо высказывание из Г, либо выводится из одного или более предыдущих высказываний последовательности Si по какому-либо из правил вывода рассматриваемой теории. Последовательность S1, S2,..., Sk называется в этом случае формальным выводом высказывания С из Г; высказывания, входящие в Г, называются допущениями (или посылками). В частном случае, когда Г пусто, мы пишем

|—C.

Вывод высказывания С из пустого множества посылок есть, очевидно, доказательство высказывания С.

Аксиоматические теории часто исходят из некоторых интуитивных теорий. В качестве примеров сразу приходят в голову такие теории, как арифметика, механика, теория вероятностей и геометрия, развиваемые обычно на интуитивной основе. После того, как интуитивная теория развита настолько, что ее основные свойства считаются известными, тогда уже можно рассчитывать (или хотя бы попытаться) ее аксиоматизировать. Первым шагом в этом направлении является перечисление основных объектов, кладущихся в основу рассматриваемой теории, и основных свойств, которыми обладают эти объекты. Затем в качестве имен для этих выбранных объектов вводятся какие-нибудь символы (в частности, такими символами могут быть и слова), после чего выбранные нами основные свойства избранных объектов записываются с помощью отобранных символов. Символы эти носят название первичных терминов (или символов) формализуемой теории, а исходные высказывания, составленные из них, — аксиом данной теории. Теперь в рамках, некоторой фиксированной системы логики выводятся теоремы. Одно из требований, предъявляемых к аксиоматической теории, состоящее в том, что понятие истинности не должно в ней явным образом использоваться, удовлетворяется благодаря тому, что первичные термины не определяются, а аксиомы понимаются просто как исходный список теорем. Степень успешности аксиоматизации какой-нибудь интуитивной теории определяется числом теорем, которые (после приписывания входящим в их формулировки первичным терминам интуитивно подразумеваемых значений этих терминов) обращаются в истинные — с точки зрения наших знаний - утверждения. Осуществление такой программы аксиоматизации интуитивной теории допускает довольно значительный произвол в выборе основных понятий, и фактически отбираемые понятия часто очень отличаются друг от друга. Например, в общепринятой в настоящее время аксиоматике евклидовой геометрии, идущей от Д. Гильберта, имеется шесть первичных терминов: «точка», «прямая», «плоскость», «инцидентно», «между» и «конгруэнтно». В то же время в аксиоматике, предложенной М. Пиери, всего два первичных термина: «точка» и «движение».

Другим источником возникновения аксиоматических теорий явилось осознание глубокого сходства между основными чертами совершенно разных теорий. Это обстоятельство, естественно, могло навести исследователей на мысль попытаться выделить эти общие черты и, руководствуясь ими, построить в описанном выше смысле аксиоматическую теорию. Каждая из теорий, для формализации которых предназначена какая-либо аксиоматическая теория, служит для этой аксиоматической теории потенциальным источником определений и теорем. Аксиоматическая теория, с успехом осуществляющая формализацию какой-нибудь интуитивной теории, является источником проникновения в природу этой теории, так как аксиоматическая теория строится без обращения к смыслу. Аксиоматическая теория, являющаяся формализацией нескольких теорий, привлекательна еще в известной мере своей «простотой» и «эффективностью». Под «простотой» мы здесь понимаем то, что для любой из конкретных теорий, служащих интерпретациями нашей аксиоматической теории, удается обойтись одним и тем же числом исходных допущений, нужных для получения конкретных теорем любой из этих теорий. Говоря об «эффективности», мы имеем в виду то, что каждая теорема аксиоматической теории может быть автоматически перенесена на любую из ее интерпретаций. Это-то обстоятельство и оправдывает в первую очередь неопределяемость первичных терминов аксиоматической теории.

Побочным результатом развития аксиоматической теории, формализующей несколько теорий, является возможность сравнительно простого дальнейшего расширения и обогащения этих аксиоматизированных теорий. Например, теорема какой-нибудь теории может быть выведена из теоремы теории вторичного происхождения, которая, в свою очередь, может быть источником новых результатов для другой родственной теории. Кроме возможности обогащения содержания родственных теорий, обусловленного общей для них аксиоматизацией, здесь возможно также «перекрестное оплодотворение» теорий методами подхода к решению рассматриваемых в них проблем. Скажем, метод доказательства, типичный для какой-нибудь теории, может оказаться совершенно новым и плодотворным для другой теории, а сама мысль о перенесении метода на другую теорию может быть подсказана идеями некоторой третьей теории.

Полное понимание замечаний, сделанных в предыдущем абзаце, может прийти к читателю только после близкого знакомства с различными конкретными теориями и разбора успешных попыток построения разнообразных теорий на общей основе. Особенно много такого рода примеров дает нам алгебра. Пожалуй, именно алгебра является наиболее ярким свидетельством плодотворности такого аксиоматического построения теорий, богатых разнообразными приложениями. Ниже мы обсудим несколько важных примеров алгебраических (аксиоматических) теорий.

< Предыдущая		Следующая >