10. Исчисление высказываний. Сентенциональные связки

В математических и других рассуждениях постоянно встречаются повествовательные предложения, образованные путем видоизменения некоторого предложения с помощью слова не или путем связывания предложений с помощью слов и, или, если..., то (или влечет), тогда и только тогда, когда. Эти пять слов или комбинаций слов называются сентенциональными связками. В первую очередь мы проанализируем структуру сложных предложений (т. е. таких повествовательных предложений, в которых содержится одна или более чем одна связка), составленных, из простых предложений (т. е. таких, каждое из которых или не содержит связку, или рассматривается как «неразложимое»). Рассмотрим сначала каждую связку отдельно.

Предложение, видоизмененное словом «не», называется отрицанием первоначального предложения. Например, «2 не есть простое число» — это отрицание предложения «2 есть простое число», а предложение «Неверно, что 2 есть простое число и 6 есть составное число» — отрицание предложения «2 есть простое число и 6 есть составное число». Грамматика заставляет нас применить выражение «неверно, что» вместо простого слова «не», потому что последнее предложение — сложное.

Слово «и» употребляется, чтобы соединить два предложения в сложное, которое называется конъюнкцией этих двух предложений. Например, предложение «Солнце светит и на дворе холодно» представляет собой конъюнкцию предложений «Солнце светит» и «На дворе холодно». В обыденной речи в качестве синонимов вместо «и» пользуются различными другими словами, вроде «а». Однако мы не будем обращать внимания на возможные различия в оттенках смысла, связанные с применением одного синонима вместо другого.

Предложение, образованное соединением двух предложений словом «или», называется дизъюнкцией этих предложений. Мы будем всегда предполагать, что «или» употребляется не в разделительном смысле (либо — либо), а в том значении, как в официальных английских документах, где это часто выражается варваризмом «и/или». Напомним, что мы интерпретировали «или» таким же образом в определении объединения двух множеств.

Из двух предложений можно построить одно вида «если..., то...», которое называется импликацией (или условным предложением). Предложение, непосредственно следующее за «если», есть антецедент, а предложение, непосредственно следующее за «то», есть консеквент. Например: Если 2 > 3, то 3 > 4» —условное предложение, в котором «2 > 3» — антецедент и «3 > 4»-консеквент. Ниже приведено несколько выражении, которые мы будем считать имеющими тот же смысл, что и «если Р, то Q» (где Р и Q — предложения):

Р влечет Q;

Р только тогда, когда Q;

Р есть достаточное условие для Q;

Q при условии, что Р;

Q, если Р;

Q есть необходимое условие для Р.

Слова «тогда и только тогда, когда» употребляются, чтобы из двух предложений получить эквиваленцию (или биусловное предложение). Мы рассматриваем эквиваленцию

Р тогда и только тогда, когда Q

Как имеющую то же значение, что и

Если Р, то Q, и, если Q, то Р;

Q есть необходимое и достаточное условие для Р.

Введением букв P,Q,... для замены простых предложений, специальных символов для каждой связки и круглых скобок там, где это может понадобиться для пунктуации, мы можем показать эффективным образом связную структуру сложного предложения.

Выберем следующие символы для связок:

~ для «не»

для «и»

для «или»

→ для «если.... то...»

для «тогда и только тогда, когда»

Так, если Р и Q - предложения, то

~ Р, PQ, PQ, РQ, PQ

Будут, соответственно, отрицанием предложения Р, конъюнкцией предложений Р и Q и т. д.

Приведем конкретные примеры анализа связной структуры сложных предложений, составленных из простых предложений.

Примеры

1. Предложение

«2 есть простое число и 6 есть составное число»

Может быть символически записано, как

PC,

Где P - «2 есть простое число» и С – «6 есть составное число»

2. Предложение

«Если Пираты или Щенки проиграют и Великаны выиграют, то Увертыши потеряют первое место и, кроме того, я проиграю пари» — импликация, поэтому оно может быть символически записано в виде

А→С.

Антецедент составлен из трех простых предложений: Р (Пираты проиграют), С (Щенки проиграют) и G (Великаны выиграют), а консеквент есть конъюнкция предложений D (Увертыши потеряют первое место) и В (я проиграю пари). Первоначальное предложение может быть символически записано при помощи введенных обозначений для простых предложений как

3. Предложение

«Если рабочие или администрация упорствуют, то забастовка будет урегулирована тогда и только тогда, когда правительство добьется судебного запрещения, но войска не будут посланы на завод» является импликацией. Антецедент есть дизъюнкция предложений L (рабочие упорствуют) и М (администрация упорствует). Консеквент есть эквиваленция, левая часть которой есть S (забастовка будет урегулирована), а правая часть есть конъюнкция предложения G (правительство добьется судебного запрещения) и отрицания предложения R (войска будут посланы на завод). Итак, первоначальное предложение может быть символически записано так:

Чтобы устранить чрезмерное количество круглых скобок при записи сложных предложений в символической форме, мы вводим некоторые соглашения (как в алгебре). Условимся, что есть сильнейшая связка (это значит, что она имеет наибольшую область действия), а за ней следует . Далее следуют и , которым приписывают равную силу, И затем ~, слабейшая связка. Например,

означает ;

» ;

Теперь третий из вышеописанных примеров может быть записан следующим образом:

Упражнения

1. Запишите символически следующие сложные предложения, употребляя буквы для обозначения простых компонентов предложения (под простыми компонентами мы подразумеваем предложения, не содержащие связок):

(a) Идет дождь или кто-то не выключил душ.

(b) Если вечером будет туман, то Джон или останется дома или должен будет взять такси.

(d) Джон сядет и будет ждать или Джордж будет ждать.

(e) Я поеду или на автобусе или на такси.

(f) Ни Север, ни Юг не победили в гражданской войне.

(g) Хлеба уцелеют тогда и только тогда, когда будут вырыты ирригационные канавы; если хлеба не уцелеют, то фермеры обанкротятся и оставят фермы.

(h) Если я устал или голоден, я не могу заниматься,

(i) Если Джон встанет и пойдет в школу, он будет доволен, а если он не встанет, он не будет доволен.

2. Пусть С будет «сегодня ясно», R — «сегодня идет дождь», S — «сегодня идет снег» и Y — «вчера было пасмурно». Переведите "на обычный язык следующие предложения:

(a) ; (d) ;

(b) ; (e) ;

< Предыдущая		Следующая >