08. Отношения эквивалентности

Отношение во множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента Х из X ХХ; симметричным, если ХУ влечет УХ; транзитивным, если из ХУ и YZ следует XZ. Отношения, обладающие всеми этими свойствами, столь часто встречаются в математике, что им присвоили специальное название. Отношение в некотором множестве называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если отношение в X есть отношение эквивалентности, то, очевидно, = X. Вследствие этого отношения эквивалентности в X называют также отношениями эквивалентности на X.

Примеры

Каждое из следующих отношений является отношением эквивалентности на соответствующем множестве:

1. Равенство в произвольной системе множеств.

2. Геометрическое отношение подобия в множестве всех треугольников в евклидовой плоскости.

3. Отношение сравнимости по модулю П в Z. Это отношение определяется для любого не равного нулю целого числа П следующим образом: Х сравнимо с У по модулю П, если Х - Y делится на П; обозначение:

X Y (mod N).

4. Отношение ~ в множестве всех упорядоченных пар положительных целых чисел, где ~ , если Xv = Yu.

5. Отношение параллельности в множестве прямых в евклидовой плоскости.

6. Отношение равночисленности в произвольной системе конечных

Множеств.

7 Отношение «проживания в одном доме» в множестве жителей Соединенных Штатов.

Последний из приведенных примеров иллюстрирует на языке повседневной жизни основное свойство любого отношения эквивалентности: это отношение разбивает соответствующее множество на непересекающиеся подмножества, в данном случае — на множества людей, живущих в одном доме. Дадим обоснование этого предложения в общем виде. Если есть отношение эквивалентности на множестве X, то подмножество А множества X называется классом эквивалентности (-классом эквивалентности), если существует такой элемент X из A, что А совпадает с множеством всех У, для которых ХУ. Таким образом, А есть класс эквивалентности тогда и только тогда, когда существует такой Х из X, что A = [{X}]. Если насчет самого отношения нет никаких неясностей, то множество -образов элемента Х из X сокращенно обозначается через [Х] и называется классом эквивалентности, порожденным элементом Х. Вот два основных свойства классов эквивалентности:

(I) X[X];

(II) если ХУ, То [X]=[Y].

Первое из этих свойств вытекает из рефлексивности отношения эквивалентности. Чтобы доказать второе свойство, допустим, что ХУ; тогда [Y][Х]; в самом деле, из Z[У] (что означает УZ) и ХУ в силу транзитивности отношения вытекает XZ, т. е. z[X]. Симметричность отношения позволяет доказать обратное включение [Х][Y], из чего уже следует равенство классов [Х] и [У].

Из свойства (I) вытекает, что каждый элемент множества X принадлежит некоторому классу эквивалентности, а из (II) — что два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают, так как, если Z[Х] и Z[У], то [Х] = [Z] и [Y] = [Z]. Следовательно, [Х] = [Y]. Вспоминая определение разбиения непустого множества, мы получаем, что совокупность различных -классов эквивалентности является разбиением множества X.

1.8. Функции

Понятие функции мы можем определить в терминах уже введенных ранее понятий. Это определение исходит из известного по многим учебникам обсуждения понятия функции, согласно которому график функции есть множество упорядоченных пар. Поскольку ясно, что любая информация о функции может быть извлечена из ее графика, то нет никакой надобности различать функцию и ее график. Поэтому при определении функции имеет смысл исходить из таких характеристик множества упорядоченных пар, которые специфичны именно для графиков функций. Это достигается посредством соглашения, по которому функция есть такое отношение, никакие два различных элемента которого не имеют одинаковых первых координат. Таким образом, F тогда и только тогда является функцией, когда оно удовлетворяет следующим требованиям:

(I) элементами F являются упорядоченные пары;

(II) если и суть элементы F, то Y = Z.

Примеры А

1. {, , Рузвельт, Черчилль} есть функция с областью определения {1, 2, Рузвельт} и областью значений {2, Черчилль}.

2. Отношение {, , } не является функцией, так как различные элементы и имеют одинаковую первую координату.

3. Отношение {| XR} есть функция, так как если Х = и, то X2+X+1 = U2+U+1.

4. Отношение {| XR} не является функцией, так как его элементами являются как так и .

Слово «функция» имеет многочисленные синонимы, в частности: преобразование, отображение, соответствие, оператор. Если F — функция и F, так что Xfy, то Х есть аргумент функции F. Для обозначения У в этом случае терминология весьма разноречива; например, У называют значением функции F на Х, образом элемента Х при F, элементом, в который F переводит Х. Для обозначения У также употребляют различные символы: Xf, F(х) (или еще проще Fx), XF. Обозначение F (X) можно рассматривать как сокращение для F[{X}] — множества F-образов элемента Х. В этих терминах характеристическое свойство функций, выделяющее их среди отношений вообще, можно сформулировать следующим образом: каждый элемент области определения имеет единственный образ.

Читатель должен привыкнуть ориентироваться в этих обозначениях функции, так как в разных книгах он будет встречать различные символы и названия. Определения и теоремы, относящиеся к функциям, в этой книге всюду будут формулироваться в обозначениях F(х) или Fx для (единственного) элемента, соответствующего элементу Х в функции F. С этим хорошо согласуется также обозначение F[A] для множества {У | для некоторого Х из А F}. Впрочем, в приложениях понятия функции мы будем пользоваться различными обозначениями. Когда вместо F(X) нам будет удобнее применить обозначение Xf, тогда естественно и вместо F [А] писать [А]F. Если же вместо F(X) мы будем писать ХF, то в этих местах вместо F[А] будет использоваться обозначение [Af] или АF.

Поскольку функции являются множествами, к ним применимо обычное определение равенства: две функции F и G равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Очевидно, что то же самое можно сказать и другими словами: F = G тогда и только тогда, когда Df = Dg и F(X) = G(X) для любого Х из общей области определения. Следовательно, функцию можно определить, указав область ее определения и задав значения функции для каждого элемента области определения. Мы видим, таким образом, что вторая часть определений такого рода имеет вид некоторого правила. Например, одно из возможных определений функции { | } таково: функция F с областью определения R такова, что F(Х) = Х2+X+1. Когда функция задается указанием на ее область определения и заданием ее значений для каждого элемента этой области, область ее значений может быть вовсе не очевидна. В приведенном только что примере, чтобы прийти к заключению, что RF = {| x ≥ }, надо проделать некоторые вычисления. С другой стороны, то обстоятельство, что в этом случае , едва ли не очевидно. Вообще, при точном определении области значений мы сталкиваемся с определенными трудностями, но указать некоторое множество, включающее в себя область значений, обычно удается без труда. В связи с этим представляется разумным принять следующую терминологию. Функция F есть функция со Значениями в Y, если область значений функции F есть подмножество множества Y, и функция F есть функция Со значениями на Y, если Rf = Y. Вводя аналогичные терминологические соглашения для области определения функции, мы будем говорить, что F Определена на X, если X есть область определения функции F. Желая сказать, что F есть функция, определенная на множестве X со значениями в множестве Y, обычно пользуются символикой

F: X → Y, или X Y.

Множество всех функций, определенных на X со значениями в Y, есть подмножество множества P () обозначим это подмножество через YX. Если X пусто, то YX состоит всего лишь из одного элемента, а именно из пустого подмножества множества XY. Это единственное подмножество множества XY, так как последнее само пусто, если пусто X. Если Y пусто, а X непусто, YX пусто.

Если F: X → Y и АХ, то F(АY) есть функция, определенная на А со значениями в Y (эту функцию называют сужением функции F на множество А и обозначают через F |A). Подробнее: F |A есть функция, определенная на A и такая, что (F | A) (A) = F (А) для любого А, принадлежащего множеству А. Функция G является сужением функции F На некоторое подмножество области определения функции F тогда и только тогда, когда область определения функции G есть подмножество области определения функции F и для XDg G(X) = F(X); иначе говоря, GF. В дополнение к определению сужения назовем функцию F продолжением функции G, если GF. В качестве примера, иллюстрирующего понятие продолжения функции, мы обратимся к описанному выше отношению тождества X в X. Очевидно, это отношение является функцией; поэтому, в соответствии с принятыми нами обозначениями функций посредством малых латинских букв, мы обозначим это отношение через или X. Назовем X тождественным отображением на X. Если AХ, то X|A = A. Если X|A рассматривается как функция, определенная на А со значениями в X, то это — инъективное отображение множества А в X.

Функция называется взаимно-однозначной, если она переводит различные элементы в различные. Иначе говоря, функция F тогда и только тогда взаимно - однозначна, когда

Х1 ≠ х2 влечет F(Xl) ≠ F(X2).

Взаимно - однозначность функции иногда удобнее доказывать, рассматривая контрапозицию к написанному выше:

F(X1) = F(X2) Влечет х1 = х2.

Например, функция F на R такая, что F(X) = 2x + 1, взаимно-однозначна, так как 2х1+1 = 2х2+1 влечет Х1 = х2.

Взаимно-однозначная функция F, определенная на X со значениями на Y, образует пары из элементов множеств X и Y; именно, в каждую пару входит F(X) из Y вместе с соответствующим Х из X. В самом деле, поскольку F есть функция, F(X) есть однозначно определенный элемент множества Y; поскольку F принимает значения на Y, каждое у сопоставляется некоторому Х; поскольку, наконец, F взаимно-однозначна, каждое У сопоставляется единственному Х. Ввиду полной симметричности картины, возникающей при взаимно-однозначном отображении множества X на Y, его часто называют взаимно-однозначным соответствием между X и Y. Если два множества связаны между собой такой функцией, то говорят, что они находятся во взаимно-однозначном соответствии.

Примеры В

1. Хорошо известная читателю показательная функция есть функция, определенная на R со значениями в R; символически:

F: R → R, где F(x) = eX.

Мы можем также сказать более точно, что F есть функция, определенная на R со значениями на R+. Вообще, если F: X → Y, то F — функция, определенная на X со значениями на F [X], т. е. на области значении функции F.

2. {A, B, C}{1, 2} есть множество всех функций, определенных на {1,2} со значениями в {А, B, с}. Один из элементов этого множества — {}.

3. Если А и В — множества, имеющие одинаковое число элементов, то они, очевидно, находятся во взаимно-однозначном соответствии. Тогда, как легко показать, для любого множества X множества Ах и Вх находятся во взаимно-однозначном соответствии. В соответствии с этим множество всех функций, определенных на некотором множестве X со значениями в произвольном множестве, состоящем из П элементов, обозначают обычно через ПХ. Так, 2х обозначает множество всех функций, определенных на X со значениями в множестве из двух элементов, в качестве какового обычно берут множество {0, 1}. Если AX, то один из элементов множества 2х есть функция , определяемая следующим образом:

(X) = 1, если ХА, и (х) = 0, если ХХ—А.

Мы будем называть характеристической функцией множества А. Рассмотрим теперь функцию F, определенную на P (X) со значениями в 2х, взяв в качестве образа подмножества А множества X [А является элементом множества P (X)] характеристическую функцию этого подмножества А (являющуюся элементом множества 2х). В качестве упражнения предлагаем доказать, что F есть взаимно-однозначное соответствие между P (Х) и 2х. В силу этого взаимно-однозначного соответствия множества P (Х) и 2х обычно просто отождествляют, свободно заменяя в рассуждениях одно из этих множеств другим, если это удобно по каким-Либо соображениям.

§ 1.10. Отношения порядка

В этом параграфе мы определим несколько видов отношений, прообразом которых служит интуитивное понятие отношения порядка (предшествования — следования), т. е. такого отношения , что в соответствующем множестве X для некоторых пар его различных элементов Х и У имеет место ХУ, но не УХ. В этом случае при помощи отношения можно решить, в каком порядке поставить эти элементы: Х, у, а не У, х, так как имеет место ХУ, но не УХ. Из такого рода отношений для множества действительных чисел хорошо известны отношения <, ≤, > и ≥. Аналогичную роль для систем множеств играют отношения и .

Первый тип отношений порядка, который мы сейчас рассмотрим, будет характеризоваться основными свойствами, общими для упомянутых выше отношений ≤ для чисел и для множеств. Предварительно мы введем одно понятие: отношение во множестве X будет называться антисимметричным, если для любых элементов Х и У множества A из одновременной истинности ХУ и УХ следует Х = у. Частичным упорядочением, или отношением частичного порядка, во множестве X мы будем называть рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение в X. Поскольку можно пожелать рассматривать частичное упорядочение в X относительно некоторого другого, отличного от X Множества (например, обычное упорядочение в Z относительно множества четных чисел), удобно ввести еще одно определение: отношение частично упорядочивает множество Y, если (YY) есть частичное упорядочение в Y. Отношение (YY) есть «сужение» отношения на множество Y в том смысле, что оно исключает из рассмотрения те упорядоченные пары, у которых хотя бы одна из координат не есть элемент множества Y.

Примеры.

1. Отношение «является целым кратным» в Z+ есть частичное упорядочение.

2. Иерархия или схема организации в торговой фирме определяется частичным упорядочением в некотором множестве должностей.

3. Если есть частичное упорядочение в X, то (АА) частично упорядочивает подмножество А множество X.

4. Для любого отношения обратным к нему называется такое отношение , что УХ равносильно ХУ. Если есть частичное упорядочение, то также есть частичное упорядочение.

5. Любое рефлексивное и транзитивное отношение называется предупорядочением. Такого рода отношение может обладать тем неудобством, что при попытке упорядочить с его помощью какое-либо множество это отношение не позволяет «различать» некоторые пары различных объектов Х, у — в том смысле, что будет иметь место как ХУ, так и УХ. Например, пусть для некоторого множества людей W будет функцией веса. а А — функцией роста, т. е. W(X) и H(X) будут, соответственно, означать вес и рост некоторого индивида Х. В таком случае отношение такое, что ХУ равносильно W(х) ≤ W (Y) и H(X) ≥ H(у), будет предупорядочением, но не частичным упорядочением, если найдутся два индивида, имеющие одинаковый вес и одинаковый рост.

Если есть предупорядочение множества X, то это отношение определяет частичное упорядочение, в некотором разбнении множества X (согласно упражнению 10 из § 1.7). Во-первых, утверждается, что отношение ~, для которого Х ~ у Равносильно по определению хУ и УХ, Является отношением эквивалентности. Во-вторых, устанавливается, что отношение ', для которого [X] ' [Y], если ХУ, является частичным упорядочением, областью определения которого служит соответствующее множество классов эквивалентности [X]. Окончательно можно сказать, что если есть предупорядочение в некотором множестве X, то оно является частичным упорядочением в множестве, получающемся из X в результате идентификации элементов, не различимых с помощью отношения .

Сказанное хорошо иллюстрируется следующим примером: в качестве о берется отношение во множестве комплексных чисел такое, что ZW, Если действительная часть числа Z меньше или равна действительной части числа W.

Следуя традиции, мы будем обозначать частичные упорядочения символом ≤. Если отношение ≤ частично упорядочивает множество X, а Х и У суть элементы множества X, то соотношение Х ≤ у может иметь или не иметь места. Аналогично, если Х ≤ у и Х ≠ у, мы будем писать просто Х < у и говорить, что Х меньше, чем У, или Х предшествует У, или У больше, чем Х. Мы будем также использовать, если это нам почему-либо окажется удобным, записи У ≥ х и У > х в качестве альтернативы для Х ≤ у и Х < у соответственно.

Отношение во множестве X является, по определению, иррефлексивным, если ни для какого Х из X не имеет места ХХ. Если ≤ — частичное упорядочение в X, то < — иррефлексивно и транзитивно в X. Обратно, исходя из иррефлексивного и транзитивного отношения < в X и полагая Х ≤ у, по определению, равносильным Х < у или Х = у, мы приходим к частичному упорядочению ≤ в X. Доказательства этих фактов мы предоставляем читателю. Получение < из ≤, и наоборот, может быть проиллюстрировано на примере определения строгого включения множеств в терминах включения и наоборот. Если ≤ частично упорядочивает конечное множество X, то отношение < можно описать посредством следующего понятия. Элемент у множества X, по определению, покрывает элемент Х, если Х<у и не существует такого И, что Х<и<у. Если Х<у, то, очевидно, можно найти такие элементы множества Х: х1, х2, .., Хп, что Х = х1<х2<...<хN = у, причем каждое ХI+1 покрывает Xi. Обратно, из существования такой цепочки следует X < Y.

Отношение есть простое (или линейное) упорядочение, если оно является частичным упорядочением и, каковы бы ни были различные элементы Х и У области определения (совпадающей с областью значений) отношения , непременно имеет место либо ХУ, либо УХ. Отношение просто упорядочивает множество Y, если (XY) есть простое упорядочение в Y. Обычное упорядочение действительных чисел по величине есть типичный пример простого упорядочения. В противоположность этому включение множеств не является, вообще говоря, простым упорядочением.

Нечего и говорить, что отношения порядка применяются для установления порядка в различных множествах. На практике отношение порядка для какого-либо данного множества X задается обычно постулированием или доказательством некоторых структурных характеристик множества X. Иными словами, определенные особенности строения множества X, например существование операции или отображения какого-либо специального типа, позволяют определить для X отношение порядка; пример такого рода будет приведен в упражнениях к этому параграфу. Свойства такого отношения порядка могут оказаться полезными для выяснения и описания дальнейших характеристик множества X. Поэтому удобно располагать специальной терминологией, приспособленной в первую очередь именно к множествам, а не к отношениям порядка в них. Частично упорядоченное множество есть упорядоченная пара , где отношение ≤ частично упорядочивает множество Х. Просто упорядоченное множество, или цепь, — это упорядоченная пара , где ≤ просто упорядочивает множество X. Например, если F есть некоторая система множеств, то F есть частично упорядоченное множество. Если, далее, ≤ есть обычное упорядочение целых чисел, то есть цепь. С точки зрения теории множеств более экономно рассматривать отношения порядка, а не упорядоченные множества (т. е. множества вместе с упорядочивающими их отношениями). Если, скажем, есть какое-то частично упорядоченное множество, то ≤ (ХХ) есть частичное упорядочение в X. Поэтому вместо того, чтобы рассматривать X и отношение ≤, частично упорядочивающее X, нам достаточно рассматривать лишь само отношение порядка ≤ (ХХ), поскольку оно полностью определяет X как область своего определения. Иначе говоря, для любого предложения об упорядоченных множествах можно указать эквивалентное ему предложение об отношениях порядка и обратно.

В качестве иллюстрации предыдущего замечания мы переформулируем данное нами ранее описание отношения < для конечного множества X, частично упорядоченного отношением ≤. Пусть есть конечное частично упорядоченное множество; тогда X<Y равносильно тому, что существует цепь вида Х = х1<х2< ... <хп = у, в которой каждое ХI + 1 покрывает ХI. Это обстоятельство позволяет представить любое конечное частично упорядоченное множество в виде наглядной схемы. Элементы изображаемого множества X изображаются при этом точками, расположенными на схеме в соответствии со следующим правилом. Точка, изображающая У, располагается выше точки, изображающей Х, в том и только в том случае, когда Х < у, причем, если У покрывает Х, то Х и У соединяются прямолинейным отрезком. Таким образом, Х < у равносильно тому, что на диаграмме имеется ломаная линия, восходящая от Х к У. Вот несколько схем такого рода.

Схема 1.

На первой схеме представлена цепь, состоящая из пяти элементов. Ясно, что схема любой цепи имеет такой вид. На последней схеме изображено множество - степень трехэлементного множества, частично упорядоченное посредством отношения включения; точка, расположенная на самом низком уровне, изображает пустое подмножество, точки, расположенные на следующем (втором снизу) уровне, — одноэлементные подмножества и т. д. Такие схемы используются не только для того, чтобы изображать уже заданные каким-либо образом частично упорядоченные множества, представляя в наглядном виде упорядочивающие их отношения; их можно использовать и для задания частично упорядоченных множеств — отношение порядка в этом случае, по определению, есть отношение, связывающее элементы, изображаемые точками, соединенными восходящими ломаными.

Перед тем как ввести еще одно определение, относящееся к понятию частично упорядоченного множества, нам будет полезно обсудить предварительно один пример. Множество {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, элементы

Которого суть делители числа 30, частично упорядочено отношением ≤, где, по определению, X ≤ Y, если У кратно Х. Предлагаем читателю в качестве упражнения показать, что схема этого частично упорядоченного множества совпадает с последней из приведенных выше схем, изображающей множество-степень трехэлементного множества, частично упорядоченное отношением включения. Сами эти множества (множество - степень трехэлементного множества и множество делителей числа 30), разумеется, различны, но рассматриваемые с точки зрения их структуры — именно как частично упорядоченные множества — они неразличимы. Именно поэтому-то их схемы и совпадают. Этот тип отношений между двумя частично упорядоченными множествами заслуживает особого внимания, поскольку любому свойству каждого из таких множеств, формулируемому исключительно в терминах упорядочивающего его отношения, соответствует совершенно аналогичное свойство другого множества. Поэтому мы хотим выразить такого рода «неразличимость» в точных формальных терминах. Тождество изображающих такого рода множества схем означает, прежде всего, наличие некоторого соответствия, связывающего попарно элементы этих множеств. Это обстоятельство может быть описано как существование взаимно - однозначного соответствия, что, кстати, удобно еще и тем, что мы не обязаны ограничиваться рассмотрением лишь конечных множеств. Интересующее нас соответствие между множествами проявляется, далее, и в том, что любое соотношение между какой-либо парой элементов одного из множеств, полностью определяемое его упорядочением, сохраняется и для соответствующей (в смысле упомянутого взаимно-однозначного соответствия) пары элементов другого множества (относительно аналогичного соотношения между членами этой пары, определяемого упорядочением этого второго множества). Точная формулировка рассматриваемого отношения между множествами фиксируется следующим определением. Функция F: X→Х' называется сохраняющей порядок (или изотопной) относительно упорядочения ≤ множества X и упорядочения ≤' множества X', если Х ≤ у влечет F (X) ≤' F (у). Теперь обсуждаемое нами подобие множеств можно описать как существование такого взаимно - однозначного соответствия, что оно само и обратное к нему сохраняют порядок. В этой связи принято пользоваться следующей терминологией. Изоморфизм между частично упорядоченными множествами и есть взаимно - однозначное соответствие между X и X' такое, что как оно, так и обратное к нему сохраняют порядок. Если такое соответствие существует, то одно из этих частично упорядоченных множеств называют изоморфным образом другого, или говорят просто, что эти частично упорядоченные множества изоморфны. Таким образом, отношение «подобия», которое, как мы видели, имеет место между множеством всех подмножеств трехэлементного множества и множеством всех делителей числа 30, рассматриваемыми вместе с частичными упорядочениями этих множеств, можно описать, сказав, что эти множества суть изоморфные частично упорядоченные множества.

Когда выше мы определили понятие частично упорядоченного множества, было отмечено, что типичным примером этого понятия является система множеств, частично упорядоченная включением. Конечно, это было сказано довольно-таки приблизительно — ведь смысл слова «типичный» имеет так много разных оттенков. Одно из возможных уточнений может быть дано в виде следующего важного утверждения: каждое частично упорядоченное множество изоморфно некоторой системе множеств, частично упорядоченной включением.

В заключение этого параграфа мы введем еще несколько определений, относящихся к частично упорядоченным множествам, которые нам впоследствии понадобятся. Наименьшим элементом множества X относительно частичного упорядочения ≤ мы будем называть такой элемент У множества X, что для всех Х из X Верно Y ≤ х: Если такой элемент существует, то он единствен; поэтому, говоря о наименьшем элементе какого-либо множества, имеют в виду вполне определенный его элемент. Минимальным элементом множества X относительно частичного упорядочения ≤ называют такой, его элемент У, что ни для одного XX не имеет места X < Y. Минимальный элемент может быть и не единственным, как это видно, например, из второй из приведенных выше (стр. 65) схем частично упорядоченных множеств. Наибольшим элементом множества X Относительно ≤ называют такой УХ, что для любого ХX х ≤ у. Наибольший элемент, если таковой существует, единствен, так что и в этом случае можно говорить о вполне определенном наибольшем элементе. Максимальным элементом множества X относительно ≤ называют такой УХ, что ни для какого ХХ не верно Х > у.

Частично упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое непустое подмножество множества X имеет наименьший элемент. Хорошо знакомым всем примером вполне упорядоченного множества является множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченное естественным образом. Каждое вполне упорядоченное множество является цепью, так как для любых двух различных элементов Х, у множества X множество {Х, у} должно иметь наименьший элемент; следовательно, имеет место либо Х < у, либо Y <х.

Если есть частично упорядоченное множество и AX, то элемент ХX называется верхней границей множества А, если для любого АА имеет место А ≤ х. Аналогично, элемент ХХ называется нижней границей множества А, если для любого АA X ≤ А. Множество может иметь много верхних границ. Элемент ХХ называется наименьшей верхней границей, или супремумом, множества А (в символах: sup A), если Х есть верхняя граница множества А и для всех верхних границ у множества А имеет место Х ≤ у. Иными словами, наименьшая верхняя граница есть верхняя граница, являющаяся нижней границей множества всех верхних границ. Элемент ХХ называется наибольшей нижней границей, или инфимумом, множества А (в символах: inf А), если Х есть нижняя граница множества А и для любой нижней границы у множества А верно Х ≥ у. Легко видеть, что если множество А имеет наименьшую верхнюю границу, то она единственна; аналогично — для наибольшей нижней границы.

Упражнения

1. Доказать, что если есть отношение частичного порядка, то обратное отношение Также является отношением частичного порядка.

2. На множестве всех непрерывных функций, определенных на множестве неотрицательных действительных чисел и принимающих действительные значения, F = O(G), по определению, означает: существуют такие положительные константы М и N, что для всех X > N F (X) ≤ Mg(X). Показать, что определенное таким образом отношение является предупорядочением и определить соответствующее отношение эквивалентности.

3. Пусть ≤ есть частичное упорядочение множества X; доказать: < иррефлексивно и транзитивно в X. Пусть, обратно, < — отношение, иррефлексивное и транзитивное в X; доказать: отношение ≤ такое, что Х ≤ у равносильно Х < у или Х = Y, есть частичное упорядочение в X.

4. Для каких множеств А P (A), является линейно упорядоченным множеством?

5. Пусть и — частично упорядоченные множества. Показать, что множество ХХ' частично упорядочено отношением , где , по определению, равносильно Х ≤ у и Х' ' у'. Частично упорядоченное множество называют (прямым) произведением данных частично упорядоченных множеств.

6. Двойственным к частично упорядоченному множеству называют частично упорядоченное множество (см. упражнение 1). Пусть — частично упорядоченное множество, А, BХ и А ≤ B; множество всех таких ХХ, что А ≤ х ≤ B, называют отрезком (замкнутым интервалом) [А, B]. Показать, что множество отрезков частично упорядоченного множества , частично упорядоченное включением, изоморфно некоторому подмножеству произведения частично упорядоченного множества и двойственного к нему.

< Предыдущая		Следующая >