07. Отношения

В математике часто пользуются для обозначения какой-либо связи между предметами или понятиями термином «отношение». Следующие неполные предложения (или предикаты) могут служить примерами отношений:

...меньше, чем... …конгруэнтно… …член...

делится на… ...включено в… ...мать...

В настоящем параграфе понятие отношения будет освещено в рамках теории множеств.

Формулируемое ниже определение исходит из следующего предварительного представления: (бинарное) отношение используется в связи с парами объектов, рассматриваемых в определенном порядке; оно касается существования определенного типа связи между некоторыми парами. Мы считаем при этом, что отношение дает критерий для отличения одних упорядоченных пар от других в следующем смысле. Если перечень всех упорядоченных пар, для которых имеет смысл говорить о данном отношении, задан, то с каждой такой парой мы связываем слово «да» или «нет» в качестве указания на то, что данная пара находится или, соответственно, не находится в рассматриваемом отношении. Очевидно, что к этому же результату можно прийти, перечислив в точности те пары, которые находятся в данном отношении. Такой перечень полностью характеризует данное отношение. Таким образом, для определения понятия отношения мы исходим из представления о множестве упорядоченных пар, для чего в свою очередь нужно предварительно уточнить понятие упорядоченной пары.

С интуитивной точки зрения упорядоченная пара — это просто совокупность, состоящая из двух предметов, расположенных в некотором определенном порядке. Когда это понятие используют в математике, предполагают, что упорядоченная пара обладает двумя свойствами: (1) для любых двух данных предметов Х и У существует объект, который можно обозначить через , называемый упорядоченной парой Х и У и однозначно определяемый предметами Х и У; (2) если и — две упорядоченные пары, то = в том и только в том случае, когда Х = и и Y = V. Теперь мы можем определить объект (на самом деле являющийся множеством), который обладает обоими этими свойствами: упорядоченная пара предметов Х и У, обозначаемая символически через , есть множество

{{X}, {X, Y}};

Иначе говоря, это двухэлементное множество, один из элементов которого, {х, у}, есть неупорядоченная пара, а другой, {х}, определяет, какой из членов этой неупорядоченной пары считается «первым». Мы можем теперь, исходя из этого определения, доказать, что упорядоченные пары обладают обоими упомянутыми выше свойствами.

Теорема 1.4. Упорядоченная пара предметов Х и У однозначно определяется через Х и У. Кроме того, если = , то Х = и и Y = V.

Доказательство. То, что Х и У однозначно определяют , следует из принятого нами выше допущения, что множество однозначно определяется своими элементами. Обратимся ко второй части утверждения. Пусть = . Рассмотрим два случая:

(I) U = V. Тогда = {{U}, {U, V}} = {{U}}. Следовательно, {{х}, {х, у}} = {{и}}, из чего следует, что {х} = {х, у} = {и}, из чего, в свою очередь, вытекает, что Х = и и Y = V.

(II) И ≠ V. Тогда {и} ≠ {U, V} и {х} ≠ {и, V}. Поскольку {X}{{U}, {U, V}}, то {X} = {U} и, следовательно, Х = и. Поскольку {и, V}{{X), {X, у}} и {и, V} ≠ {х], то {и, V} = {х, у}. Значит, {х) ≠ {х, у} и, далее, Х ≠ у и У ≠ и. Окончательно, У = V.

Будем называть Х первой координатой, а У — второй координатой упорядоченной пары . В терминах упорядоченных пар можно определить теперь упорядоченные тройки и, вообще, - упорядоченные П - ки. Упорядоченная тройка предметов Х, у и Z, обозначаемая через , определяется как упорядоченная пара . Если понятие упорядоченной (П-1)-ки уже определено, то упорядоченная П - ка предметов Xl, х2, ... , хN, обозначаемая через , есть по определению .

Возвращаясь теперь к основной теме этого параграфа, мы определим (двуместное) отношение как множество упорядоченных пар, т. е. множество, каждый элемент которого есть упорядоченная пара. Если есть некоторое отношение, то мы считаем выражения и ХУ взаимозаменяемыми и говорим, что Х - относится к У в том и только в том случае, когда ХУ. Для некоторых отношений — например, равенства, принадлежности, включения, конгруэнтности — приняты специальные обозначения. Такие привычные обозначения, как Х = у, х < у и х у, исходят как раз не от обозначения , а от ХУ.

Естественным обобщением понятия бинарного отношения является понятие П - арного (П - местного) отношения, определяемого как множество

Упорядоченных N - ок. Термин «бинарное отношение» относился, разумеется, к случаю П = 2. Аналогично, вместо того чтобы говорить «3 - арное отношение», мы будем пользоваться термином тернарное отношение.

Примеры А

1. Множество {}, будучи множеством упорядоченных пар, есть бинарное отношение. Не имея никакого конкретного значения, это отношение, естественно, не получило и специального названия.

2. Отношение «меньше чем» для целых чисел есть множество {} для целых чисел Х и У найдется такое положительное целое число Z, что {Х + Z = Y}. Если это отношение выразить символически обычным образом, предложения «2 < 5» и «<» будут синонимичны (и оба истинны).

3. Если обозначает отношение материнства, то Джейн, Джон означает, что Джейн является матерью Джона.

4. Отношение между родителями и ребенком представляет собой пример тернарного отношения. Если обозначить это отношение через , то Элизабет, Филип, Чарлз означает, что Элизабет и Филип — родители Чарлза. Другой пример тернарного отношения дает нам операция сложения в Z; запись «5 = 2 + 3» можно представить и в форме утверждения 5, 2, 3+.

5. Отношение, связанное с операцией извлечения кубического корня

Из действительных чисел: {|XR}. Одним из элементов этого отношения является пара 2, 8.

6. Функция «синус» в тригонометрии определяется посредством правила, по которому каждому действительному числу сопоставляется некоторое действительное число от —1 до 1. В практической работе часто используются специально изданные таблицы значений этой функции для различных значений аргумента. Такая таблица служит простым и компактным способом задания множества упорядоченных пар. Таким образом, для практических надобностей функция «синус» задается множеством упорядоченных пар чисел, представленным в виде таблицы (вместе с правилами пользования этой таблицей). Заметим, что такую таблицу можно изобразить в виде совокупности пар вида Х, sin X); при этом существен порядок, в котором мы указываем координаты каждой пары. Для произвольного отношения мы истолковываем запись как выражающую тот факт, что А - относится к B; в частности, наличие пары в таблице функции «синус» мы понимаем как сообщение о том, что первая координата этой пары синус-относится ко второй координате (вторая координата является синусом первой координаты).

В дальнейшем мы будем широко пользоваться тернарными отношениями; пока же мы интересуемся бинарными отношениями; их мы и будем, если не возникнет опасности путаницы, называть просто «отношениями». Областью определения отношения (обозначение: ) мы будем называть множество {х| для некоторого У, } областью значений отношения (обозначение: ) — множество {У| для некоторого X, }. Иными словами, область определения отношения — это множество первых координат элементов из , а область значений отношения — множество вторых координат элементов из . Например, как областью определения, так и областью значений отношения включения, для подмножеств множества U является множество P (U), а, скажем, областью определения для отношения материнства служит множество всех матерей, в то время как область значений этого отношения — множество всех людей. Один из простейших типов отношений — это множество всех таких пар , что Х есть элемент некоторого фиксированного множества X, а У — элемент некоторого фиксированного множества Y. Это отношение называется прямым произведением множеств X и Y и обозначается через ХY. Таким образом,

XY = {| XX И YY}.

Очевидно, каждое отношение есть подмножество некоторого прямого произведения ХY, такого, что Х, и Y. Если — такое отношение, что ХY, то говорят, что есть отношение от X к Y. Если — отношение от X к Y и ZXY, то есть отношение от Z к Z. Отношения от Z к Z называют отношениями в Z.

Выражения «отношение от X к Y» и «отношение в Z» исходят из возможного применения понятия отношения к задаче отличения одних упорядоченных пар от других. Если X есть какое-то множество, то ХX есть некоторое отношение в X, которое мы назовем универсальным отношением в X; название это оправдывается тем, что для каждой пары Х, у элементов из X имеет место Х(ХX)у. Другим крайним примером служит пустое отношение в X, совпадающее с пустым множеством. Промежуточное положение занимает тождественное отношение в X, обозначаемое через или :{| }. Очевидно, для любых Х и У из X равносильно Х = у.

Если —отношение, а А — множество, то [А] определяется как {у| для некоторого Х из А хУ}. Это множество естественно называть множеством -образов элементов множества А. Разумеется, [] = и для произвольного множества А [А] .

Примеры В

1. Если У ≠ ɸ , то = X, и если X ≠ ɸ , то = Y.

2. Аналитическая геометрия плоскости основывается на допущении о возможности попарного соответствия между точками евклидовой плоскости и элементами множества — множества упорядоченных пар действительных чисел. Таким образом, изучение геометрических конфигураций может быть сведено к изучению некоторых подмножеств множества , т. е. отношений в R. Естественно ожидать, что для представляющих наибольший интерес геометрических конфигураций определяющими свойствами соответствующих им отношений в R будут служить алгебраические уравнения относительно Х и У, неравенства, содержащие Х и У, а также некоторые комбинации таких уравнений и неравенств. В таких случаях определяющее свойство отношения, связанного с какой-либо конфигурацией, относят обычно в качестве описания к самой этой конфигурации, а об отношении явным образом и не упоминают. Например, «прямая с уравнением У = 2х+1 есть сокращение для «множество точек, соответствующих множеству {|y = 2x+1}».. Аналогично «область, для которой У<X» — это множество точек, соответствующих множеству {|y < х}. Еще пример: соотношения

X≤ 0, y ≥ 0 И y ≤ 2x+1,

Как легко проверит читатель, служат определением для некоторой плоской треугольной области.

Если основным предметом изучения служат не множества точек на плоскости, а сами по себе отношения в R, то множество точек, соответствующих элементам отношения, называют графиком этого отношения (или графиком его определяющего свойства). Ниже (на рис. 7—10) приводятся четыре примера отношений, для каждого из которых схематически представлен его график. В тех случаях, когда график является частью плоскости, эта часть плоскости на чертеже заштриховывается.

Если есть отношение в R с определяющим свойством 0 ≤ Х ≤ 2, а — отношение в R с определяющим свойством 0 ≤ у ≤ 1, то отношение, иллюстрируемое рисунком 9, есть , a отношение, иллюстрируемое рисунком 10, — . Таким образом, рисунки 9 и 10 иллюстрируют то обстоятельство, что график объединения двух отношений и есть

Рис. 7. Рис. 8.

{| y = x} {| y ≥ x}

Рис. 9. Рис. 10.

{| 0 ≤ x ≤ 2 {| 0≤ x ≤ 2

или 0 ≤ y ≤ 1} и 0≤ y ≤ 1}

Объединение графиков этих отношений, а график пересечения отношений р и а есть пересечение их графиков.

3. Пусть — это отношение «быть отцом». Если A —множество всех нынешних жителей Соединенных Штатов, то [A] — множество всех людей, чьи отцы проживают в настоящее время в Соединенных Штатах. Если А = {Адам, Ева}, то [A] = {Каин, Авель}.

Упражнения

1. Показать, что если = , то Х = и, Y = V И Z = W.

2. Выписать элементы множества {1, 2}{2, 3, 4}. Каковы область определения и область значений этого отношения? Что представляет собой его график?

3. Найдите область определения и область значений каждого из следующих отношений, после чего постройте их графики:

(a) {| x2 + 4y2 = 1};

(b) {| x2 = y2};

(c) {| x | + 2| y | = 1};

(d) {| x2 + y2 < 1 и X > 0};

(e) {| y ≥ 0 и Y ≤ x, и X +y ≤ 1}.

4. Представьте отношение из упражнения 3(с) в виде объединения четырех отношений, а отношение из упражнения 3(е) — в виде пересечения трех отношений.

5. Образование прямого произведения двух множеств есть бинарная операция над множествами («прямое умножение»). Покажите на примерах, что эта операция не является ни коммутативной, ни ассоциативной.

6. Пусть — отношение «...есть брат...», а — отношение «...есть сестра...». Опишите отношения , и — .

7. Пусть и имеют те же значения, что в упражнении 6. Пусть A — множество студентов, обучающихся в настоящее время в том же институте, что и читатель. Что представляет собой [A]? () [A]?

8. Доказать, что для произвольных множеств A, В, С, D (AВ)(СD) = (AС) (ВD). Доказать, что прямое умножение множеств дистрибутивно относительно операции пересечения, т. е. что для любых A, В и С (AВ)С = (AС)(ВС) и A(ВС) = (AВ)(АС).

9. Укажите такие четыре множества A, В, С и D, для которых (AВ)(СD) ≠ (AС)(ВD).

10. Несмотря на результат предыдущего упражнения, прямое умножение дистрибутивно относительно операции объединения. Доказать.

11. Исследуйте, дистрибутивны ли объединение и пересечение относительно прямого умножения.

12. Доказать, что для любых непустых множеств A и В и любого множества С из (AВ)(ВА) = СС следует А = В = С.

< Предыдущая		Следующая >