15. Задачи для самостоятельного решения

Задача 5.1. Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность того, что: а) выпадет хотя бы один раз 6 очков, если известно, что сумма выпавших очков равна 8; б) сумма выпавших очков больше 9, если известно, что один раз выпало 5 очков.

Задача 5.2. Монету подбросили 5 раз. Найти вероятность того, что при первых двух бросках выпал герб, если известно, что всего выпало 3 герба.

Задача 5.3. В урне содержатся 5 черных, 6 белых и 7 красных шаров. Последовательно без возвращения из урны извлекают три шара. Найти вероятность того, что: а) первый шар – черный, второй – белый, третий – красный; б) первый шар белый, а второй и третий – красные.

Задача 5.4. Вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний событие А произойдет хотя бы один раз, равна 0.5. Определить вероятность появления события А при одном испытании, если эта вероятность неизменна для всех испытаний.

Задача 5.5. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы вероятность попадания в десятку хотя бы один раз была не менее 0.9? Вероятность попадания в десятку для всех выстрелов неизменна и равна 0.6.

Задача 5.6. На железнодорожном вокзале пассажир воспользовался автоматической камерой хранения багажа, шифр которой состоит из оной буквы русского алфавита и четырех цифр. Пассажир набрал шифр, запер сейф, но, возвратившись, смог вспомнить только две последние цифры кода. Найти вероятности событий: а) A={сейф откроется при первой попытке}; б) B={сейф откроется после k попыток}.

Задача 5.7. Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на восемь вопросов из тех сорока, которые могут быть предложены. Какова вероятность сдачи коллоквиума?

Задача 5.8. В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью , а третий для вынесения решения бросает симметричную монету. Окончательное решение выносится абсолютным большинством голосов. Жюри, состоящее из одного человека, выносит справедливое решение с вероятностью . Какое из этих двух жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?

Задача 5.9. Подбрасываются два игральных кубика. Рассмотрим события: ={на первом кубике выпало четное число очков}; ={на втором кубике выпало нечетное число очков}; ={сумма выпавших очков нечетная}. Доказать, что события , , попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Задача 5.10. В спортивном зале мячи находятся в трех корзинах. В первой лежит 3 волейбольных мяча, 1 футбольный и 5 баскетбольных. Во второй корзине соответственно 1, 2 и 4 мяча указанных видов, в третьей – 7, 1, 2. Из каждой корзины взяли по одному мячу. Найти вероятность того, что все они предназначены для одной игры.

Задача 5.11. Каждая из m радиолокационных станций за время Т делает n оборотов антенны и за один оборот обнаруживает объект с вероятностью p независимо от других станций. Найти вероятность того, что: а) за время Т объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) за время Т объект будет обнаружен каждой станцией.

Задача 5.12. Проблема Джона Смита. Одинаковы ли шансы на успех у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при трех бросаниях игральной кости, второму – не менее двух шестерок при шести бросаниях, а третьему – не менее трех шестерок при девяти бросаниях?

Задача 5.13. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Найти вероятность выигрыша у каждого игрока. Какова вероятность того, что игра закончится через n бросков? Не более, чем через n бросков?

Задача 5.14. Задача Чебышева. Определить вероятность того, что написанная наудачу простая дробь несократима.

Задача 5.15. На плоскости проведены две параллельные полосы, ширина которых 10 мм, а расстояние между ними 155 мм. Вдоль прямой, перпендикулярной этим полосам, на расстоянии 120 мм друг от друга расположены центры окружностей радиуса 10 мм. Определить вероятность того, что хотя бы одна из окружностей пересечет любую из полос, если центры окружностей расположены независимо от положения полос.

Задача 5.16. Игра между лицами А и В ведется на следующих условиях: в результате первого хода, который всегда делает игрок А, он может выиграть с вероятностью 0.3; если первым ходом игрок А не выигрывает, то ход делает игрок В и может выиграть с вероятностью 0.5, если в результате этого хода В не выигрывает, то А делает второй ход, который может привести его к выигрышу с вероятностью 0.4. Определить вероятности выигрыша для каждого игрока.

Задача 5.17. Вероятность получения билета, у которого равны суммы трех первых и трех последних цифр шестизначного номера, равна 0.05525. Какова вероятность иметь такой билет среди двух взятых наудачу билетов, если оба билета: а) имеют последовательные номера;

Б) получены независимо друг от друга?

< Предыдущая		Следующая >