14. Примеры решения задач

Задача 1. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются 2 шара. Рассматриваются события: A={первый шар белый}; B={второй шар белый}; C={по крайней мере один из вынутых шаров белый}. Вычислить вероятности Являются ли независимыми события А и В, А и С, В и С. Являются ли независимыми в совокупности события А, В и С?

Решение: Для вычисления искомых условных вероятностей воспользуемся формулой Занумеруем белые шары числами 1,2,3, а черные – числами 4,5,…,10. Согласно описанию эксперимента имеем следующую схему: выбор наудачу, без возвращения пары чисел из множества {1,2,…,10} с упорядочиванием. Поэтому множество элементарных исходов можно записать в виде: Отсюда следует, что для всех События А и формально можно записать так::

Событию соответствует множество Далее получаем:

Для вычисления вероятности события заметим, что поэтому . Отсюда

Проверяем независимость событий и : т. е. события и не являются независимыми. Далее проверяем независимость событий и : т. к. Следовательно, событияИ тоже зависимы. Наконец,

поэтому и события и зависимы.

Так как события и не являются попарно независимыми, то они тем более не являются независимыми в совокупности.

Задача 2. События Независимы в совокупности и Найти вероятности событий:

A ={не произойдет ни одного из событий }; B = ={произойдет хотя бы одно из событий }; C= ={произойдет одно и только одно из событий }.

Решение: Если не произойдут события , это значит, что будут иметь место противоположные им события Следовательно, Воспользовавшись тем, что при независимости событий , события так же будут независимыми, получаем: По определению операции объединения событий, событие В может быть представлено в виде: Для независимых событий легко вычисляется вероятность пересечения этих событий, поэтому здесь целесообразно воспользоваться законом де Моргана. В результате будем иметь:

=

Событие С может наступить одним из n возможных способов, при которых наступает лишь одно фиксированное событие (), а все другие не наступают. Обозначим через соответствующие события, т. е.. Событие С можно представить в виде объединения n попарно несовместных событий , и по теореме сложения для несовместных событий получаем:

< Предыдущая		Следующая >