08. Примеры решения задач

Задача 1. В урне белых и черных шаров ( Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение: Для того, чтобы описать пространство элементарных исходов данного эксперимента, пронумеруем все шары. Пусть белые шары имеют номера от 1 до , а черные – номера от До . Множество означает множество всех шаров. Случайный эксперимент заключается в случайном выборе двух элементов из множества G. Тогда элементарный исход эксперимента может быть описан как множество из двух элементов, т. е. , где - номера вынутых шаров. Заметим, что порядок выбора элементов здесь не важен. Все элементарные исходы равновозможны в силу симметрии эксперимента, их общее число равно . Запишем событие А, означающее, что выбраны два белых шара, A= Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно Вероятность события А вычисляется как отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А к общему числу элементарных исходов, т. е.

Задача 2. В лифт 9-этажного дома входят 3 человека. Найти вероятность того, что все они выйдут на разных этажах.

Решение: Случайный эксперимент заключается в случайном выборе номера этажа для каждого из трех пассажиров лифта. Элементарный исход такого эксперимента может быть описан как вектор с тремя компонентами, где первая компонента означает номер этажа первого человека, вторая – второго, а третья - номер этажа третьего человека. Будем считать, что в начальный момент лифт находится на первом этаже. Тогда естественно предположить, что пассажиры выбирают этажи со второго по девятый. Опишем множество всех элементарных исходов . Запишем формально событие . Посчитаем, сколько различных элементов содержит множество W. Их столько, сколько можно составить различных векторов с тремя компонентами, для которых каждая из трех компонент может принимать различные значения из множества {2,3,…9}. Для выбора первой компоненты вектора подходит 8 вариантов, для выбора второй и третьей компонент так же существует по 8 различных вариантов. Таким образом получаем, что искомое количество векторов равно 8´8´8, и Аналогично вычисляем количество элементов, содержащихся в множестве A, Искомая вероятность получается равной Ответ: Р(А)=21/32»0.656.

Задача 3. Игральный кубик подбросили два раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5.

Решение: В данном случайном эксперименте случайно количество очков, выпавших на кубике при каждом броске. Поэтому элементарный исход такого случайного эксперимента может быть описан как вектор с двумя компонентами, где первая и вторая компоненты означают соответственно количество очков, выпавших при первом и втором броске игрального кубика. Все такие исходы будут равновозможными в силу симметрии случайного эксперимента. Опишем множество всех элементарных исходов Множество W содержит различных элементов. Событие А формально запишется следующим образом:. Для вычисления N(A) можно просто перебрать все описания элементарных исходов, содержащиеся в множестве А, а именно , и Ответ:

Замечание: Следует заметить, что если описывать элементарные исходы как неупорядоченные двухэлементные множества, т. е. , то интересующее нас случайное событие можно описать с помощью элементов множества , но в данном случае нельзя использовать классический способ определения вероятностей случайного события, так как элементарные исходы, описания которых содержатся в множестве , не являются равновозможными. Покажем это используя равновозможность исходов, описания которых составляют множество . Рассмотрим два различных элементарных исхода, которым соответствуют элементы и . Для наступления элементарного случайного события {} необходимо и достаточно появление элементарного исхода, описанного элементом Событию {}, соответствуют описания и . Таким образом событиям {} и {} соответствует разное количество равновозможных элементарных случайных событий, описанных элементами множества , следовательно такие случайные события не являются одинаково вероятными.

< Предыдущая		Следующая >