04. Тема 2. Стохастический эксперимент. Случайные события. Операции над случайными событиями

Литература: [1, c.23-26], [2,c.23], [4, c.16-25], [6, c.9-16], [6, c. 15-23], [8, с.3-10], [9, с.7-12], [10, с. 10-15].

Занятие 2 предназначено для овладения исходными понятиями теории вероятностей, которыми являются понятия стохастического эксперимента, случайного события, алгебры случайных событий и вероятности случайных событий. В основе теоретико-множественного метода изложения теории вероятностей лежит предположение, что рассматриваемому стохастическому эксперименту поставлено в соответствие некоторое множество W, точки которого изображают наиболее полную информацию о возможных результатах в данном эксперименте. Множество W называют пространством описаний элементарных случайных событий, а его точки – описаниями элементарных случайных событий (описаниями элементарных исходов), если это множество состоит из взаимоисключающих исходов эксперимента, а каждый интересующий нас результат эксперимента может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества. С множеством W связывают некоторую систему подмножеств , обладающую определёнными свойствами, называемую алгеброй подмножеств множества W. Любое множество из называется случайным событием. Раз событие формально есть подмножество множества W, то над событиями выполняются те же операции, что и над множествами.

Объединением событий и называется событие, состоящее из тех элементарных событий, которые входят в событие или в событие , или и в то и другое одновременно (рис. 3 а ). Другими словами, событие наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий или .

Пересечением событий и называется событие, состоящее из тех элементарных событий, которые входят и в и в одновременно (рис. 3 б ). Т. е. событие наступает тогда и только тогда, когда наступают одновременно и и .

Разностью называется событие, состоящее из тех элементарных событий, которые входят в и не входят в (рис. 3 в). Т. е. событие наступает в случае, если наступает и не наступает .

Множество W называется Достоверным Событием. Достоверное событие всегда наступает в результате однократного воспроизведения случайного эксперимента. Пустое множество Æ Называется Невозможным Событием. Невозможное событие никогда не наступает в результате воспроизведения эксперимента.

События и называются Несовместными, если (рис. 3 г ), т. е. и никогда не наблюдаются одновременно. В том случае, когда , иногда пишут вместо . Событие называется Противоположным событию , если и (рис. 3 д). События образуют Полную группу попарно несовместных событий, если и (рис. 3 е ).

Если каждое появление события сопровождается появлением , то пишут и говорят, что влечет за собой . Если , то каждое элементарное событие, входящее в , содержится в событии (рис. 3 ж).

Для различных стохастических экспериментов, описанных в задачах этих занятий, необходимо построить множество W, выяснить, как случайному событию , связанному с данным экспериментом, ставится в соответствие подмножество пространства описаний элементарных исходов W, какая взаимосвязь результатов операций над случайными событиями и результатов соответствующих операций над подмножествами пространства W. Часть задач требует выполнения некоторых преобразований с использованием законов для операций над событиями:

А) Ассоциативный закон (сочетательный)

Б) Коммутативный закон (переместительный)

В) два Дистрибутивных (распределительных) закона

Г) связь операции пересечения и операции разности двух событий

;

Д) Закон де Моргана

< Предыдущая		Следующая >