9.3. Решение уравнения параболического типа

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности в одномерном пространстве. Необходимо определить функцию U(X,T), которая в области G = {0 £ x £ 1, 0 < t £ T } удовлетворяет уравнению

, (9.7)

Начальным условиям (при T=0 )

U(X,0)=Y (X), 0£ x £ 1,

И на границе области G при X = 0 и X = 1 граничным условиям I рода:

U(0,t)=M1(T),

U(1,t)=M2(T), 0 £ t £ T.

Будем считать, что задача имеет единственное решение, и это решение непрерывно в области G Вместе со своими производными

. В области G построим равномерную сетку по правилу:

Xm=M H, M = 0,1,…,M, H = 1/M>0, H – Шаг по пространству,

Tn=N T, N = 0,1,…,N, T >0, NT £ T < (N+1) T , T - Шаг по времени.

Конфигурацию узлов, используемую для составления разностной схемы, называют Шаблоном. Наиболее употребительны для уравнений параболического типа шаблоны:

(M,N+1)

- явный двухслойный шаблон;