9.2. Сходимость, аппроксимация, устойчивость разностных схем

Рассмотрим дифференциальное уравнение, заданное в некоторой области D, ограниченной контуром Г:

LU = F , (9.2)

Где U - решение (9.2). Множество Dh ={MH} состоящее из изолированных точек MH , принадлежащих замкнутой области D, называется сеткой, а точки MH - узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией Uh. На практике, как правило, можно вычислить только приближенное сеточное значение функции U(H).

Для нахождения U(H) строим систему численных уравнений:

Lh(U(H)) = F(H) , (9.3)

Где Lh – Разностный оператор, соответствующий оператору L, F(H) – Разностный аналог правой части. Уравнение (9.3) является разностной схемой.

Таким образом, в методе сеток происходит замена пространства V (пространства непрерывных в D функций U) на пространство Vh (пространство, образованное совокупностью сеточных функций Uh , определенных на Dh.). В линейных пространствах Vh и Fh введем нормы И , которые являются сеточными аналогами норм в пространстве V и F.

Определение. Говорят, что разностная схема (9.3) является Сходящейся, если при H ® 0 выполняется условие

. (9.4)

Если выполнено условие (с=consT, S>0), то говорят, что имеет место сходимость со скоростью порядка S.

Определение. Говорят, что разностная схема (9.3) Аппроксимирует задачу (9.2) на решение U , если

Lh(Uh ) = F(H)+D F(H) (9.5)

при H ® 0,

Величина D F(H) называется погрешностью аппроксимации.

Если (M=Const, β >0), то говорят, что разностная схема (9.3) аппроксимирует задачу (9.2) с погрешностью порядка β относительно H.

Определение. Разностная схема (9.3) называется Устойчивой, если существует такое H0>0, что для всех H<H0 и любых F(H)ÎFh Выполняются условия:

1) разностная схема (9.3) имеет единственное решение;

2) , где M – постоянная, не зависящая от H и F(H).

Теорема. Пусть разностная схема Lh(U(H)) = F(H) аппроксимирует задачу LU = F на решение U с порядком S>0 относительно H и устойчива. Тогда эта схема будет сходящейся и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации, т. е. будет справедлива оценка :

, (9.6)

Где С – постоянная, не зависящая от H.

< Предыдущая		Следующая >