9.1. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Простейшие приемы построения разностных схем

Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широкое приложение в математической физике, гидродинамике, акустике и т. д. Многие задачи механики сплошной среды сводятся к решению дифференциальных уравнений в частных производных. В большинстве случаев получить решение таких уравнений в явном виде не представляется возможным, поэтому широко применяются приближенные методы. Построение различных схем методом конечных разностей в случае уравнений в частных производных зависит от типа уравнений и вида граничных условий.

Пусть G – некоторая область изменения независимых переменных X, Y , ограниченная контуром Г. Говорят, что в области G задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции U(X,Y), если для любой точки из области G имеет место соотношение:

AUxx+2BUxy+CUyy+DUx+EUy+F=0. (9.1)

Коэффициенты уравнения, вообще говоря, зависят от X, Y. Если ABC0, а D0 и E0, то уравнение (9.1) имеет первый порядок и называется уравнением переноса. Обозначим Q= B2+ AC, Q= Q(X, y). Уравнение называется эллиптическим, если Q<0; параболическим, если Q>0, и гиперболическим - если Q=0 для всех (X,Y) из области G.

Например, уравнение Пуассона Является уравнением Эллиптического Типа (Q<0), действительно, так как A=1, B=0, C=1, то Q= -1.

Уравнение теплопроводности Является уравнением Параболического типа (Q=0), действительно, так как A=1, B=0, C=0, то Q=0.

Волновое уравнение является уравнением Гиперболического Типа (Q>0), действительно, так как A=1, B=0, C=-1, то Q=1.

< Предыдущая		Следующая >