4.2. Метод последовательных приближений (метод простой итерации)

Заменим исходное уравнение F(X)=0 равносильным уравнением X=J(X). Тогда формула для вычисления последовательных приближений будет выглядеть так:

Xn+1=J(Xn) ( n=0, 1, 2,…); где X0 – Начальное приближение, X0 [A, b] .

Приведем Достаточное условие сходимости итерационного процесса:

Теорема. Пусть функция J(X) определена и дифференцируема на отрезке

[A, b], причем все ее значения J(X)[A, b]. Тогда, если существует Q такая, что

|J¢(X)| £ Q< 1 для всех X[A, b],

То процесс итерации Xn+1=J(Xn) ( n=0, 1, 2,…) сходится независимо от начального значения X0 [A, b] и предельное значение x= является единственным корнем уравнения X=J(X) на отрезке [A, b].

Критерий завершения вычислений имеет вид: | Xn+1 - xn | £ E,

Где Q = Max|J'(X)|, при X[A,B] и e - заданная точность.

На рис. 4.3 приведена геометрическая интерпретация сходящегося (|J'(X)|< 1) и расходящегося (|J'(X)| > 1) итерационных процессов.

Предположим, что в интервале [A, B] расположен один корень уравнения (4.1). Пусть на начальном шаге X0=a, h0= (B-a) /2; далее ищем

Xn+1=xn+sign( f(A)) Sign( f(Xn) ) hn, hn+1=hn /2,

Т. е. получаем новое значение X На (N+1)-Й итерации (рис. 4.3).

Если выполняется одно из условий (применяют для всех методов):

| F(Xn+1) | £ e или | Xn-xn+1 | £ e,

Где e - заданная точность вычислений, то корень уравнения F(X)=0 найден

X= xn+1 и процесс вычисления заканчивается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< Предыдущая		Следующая >