20. Экстремум функционала

Теперь мы по аналогии с определением 4 можем дать определение точки экстремума функционала. Конечно, такой точкой будет функция.

Определение 13. Функция Y0(X) называется точкой минимума функционала J(Y(X)), если Y(X) из её малой d-окрестности выполняется условие: J(Y(X))іJ(Y0(X)). Если при этом Y(X) из этой d-окрестности, кроме Y0(X), будет J(Y(X))>J(Y0(X)), то говорят, что на функции Y0(X) достигается строгий минимум. Аналогично даётся определение максимума (строгого максимума) функционала.

Посмотрите внимательно на это определение: в нём участвует d-окрестность функции, а мы определяли d-окрестность для конкретного класса функций. Вот в соответствии с этим классом и говорят об экстремуме функционала в C0, C1, ..., Ck.

Определение 14. Функция Y0(X) называется точкой экстремума K-го порядка функционала J(Y(X)), если соответствующее условие из определения 13 выполняется в d-окрестности функции Y0(X) в Ck.

Пусть на функции Y0(X) достигается экстремум K-го порядка. Какой вывод мы тогда можем сделать из этого: что достигается экстремум (K-1)-го или (K+1)-го порядка? Давайте разберёмся в этом вопросе. Если, например, на Y0(X) достигается минимум K-го порядка, то Y(X), которые мало отличаются от Y0(X) по значениям функции, значениям 1-й производной, значениям 2-й производной, и т. д., значениям K-й производной, будет выполняться J(Y(X))іJ(Y0(X)). Если при этом, кроме того, Y(X) будет мало отличаться от Y0(X) ещё и по значениям (K+1)-й производной, то хуже от этого не будет: другие условия малого отличия не нарушаются, появляется новое, дополнительное условие. Поэтому по-прежнему будет выполняться J(Y(X))іJ(Y0(X)). Если же, наоборот, значения K-х производных отличаются значительно, то может уже оказаться, что условие J(Y(X))іJ(Y0(X)) не выполняется. Таким образом, мы должны здесь применить вывод 1'.

Вывод 3. Если на функции Y0(X) достигается экстремум K-го порядка, то будет достигаться и экстремум (K+1)-го порядка.

Определение 15. Экстремум 0-го порядка называется сильным. Экстремум 1-го порядка называется слабым (или слабым 1-го порядка). Экстремум K-го порядка называется слабым экстремумом K-го порядка.

Если на какой-то функции достигается сильный экстремум, то достигается и слабый (любого порядка). Если на какой-то функции достигается слабый экстремум меньшего порядка, то достигается и слабый экстремум большего порядка.

< Предыдущая		Следующая >