44. Формула Шермана-Моррисона и ее применение
Пусть 
– невырожденная квадратная матрица размера 
, а 
и 
– произвольные -мерные векторы столбцы. Если 
, то матрица 
невырожденная и имеет обратную матрицу
. (5.1)
Это равенство называется Формулой Шермана – Моррисона. Для доказательства ее истинности умножим равенство (5.1) на матрицу 
:
.
Применим формулу Шермана – Моррисона для вывода модифицированной формулы Бройдена – Флетчера – Гольдфарба – Шанно (4.35) обращением матрицы (4.29)
, (5.2)
Введем обозначения:
, 
, (5.3)
, 
, 
, 
, 
, 
, (5.4)
, 
, 
, 
. (5.5)
Формула (5.2) примет вид:
. (5.6)
Рассмотрим матрицу 
. По формуле (5.1) имеем:
.
С учетом обозначений (5.3)–(5.5)
.
Обозначая
, (5.7)
Получим:
. (5.8)
Рассмотрим матрицу (5.6) 
. По формуле (5.1) имеем:
.
Учитывая (5.8),
.
Перепишем это равенство в виде:
, (5.9)
Где
, 
. (5.10)
На основании (5.8) имеем:
,
. (5.11)
С учетом обозначений (5.4) и (5.5)
, 
.
Поскольку матрицы 
и 
симметрические, 
, 
, то
, 
.
Поэтому выражение (5.11) примет вид:
. (5.12)
На основании (5.5) и (5.8) для 
в (5.10) получим:
,
, 
.
Подставим последнее выражение, выражения (5.8) и (5.12) в (5.9):
,
.
С учетом (5.7) получим:
,
.
Возвращаясь к исходным обозначениям по равенствам (5.3)–(5.5), получим окончательно модифицированную формулу БФГШ (4.35)
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
