43. Матрицы и действия с ними

Матрица Размера представляет собой прямоугольную таблицу действительных чисел, состоящую из строк и столбцов

,

Где – действительные числа, называемые Элементами матрицы. Элементы при называются Диагональными элементами, если же , то называются Недиагональными элементами. Диагональные элементы составляют Главную диагональ матрицы.

Элементы каждого столбца матрицы составляют вектор, который называется Вектор-столбцом. Аналогично каждая строка матрицы определяет Вектор-строку. Вектор можно рассматривать как матрицу специального вида, которая содержит либо только одну строку, либо лишь один столбец. Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов называется Квадратной матрицей.

Если заменить строки матрицы столбцами, то получится Транспонированная к матрица, которая обозначается . В частности, если – вектор-строка, то – вектор-столбец.

Квадратная матрица называется Симметрической, если для ее элементов , то есть симметричные относительно главной диагонали элементы одинаковы. Для симметрической матрицы .

Две матрицы называются Равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы совпадают.

Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а внедиагональные элементы – нулю, называется Единичной матрицей и обозначается через . Матрица, которая содержит только равные нулю элементы, называется Нулевой матрицей и обозначается .

Рангом матрицы называется максимальное число ее линейно независимых строк или столбцов.

Сумма или Разность двух матриц и одинакового размера есть матрица того же размера , элементы которой вычисляются по формулам или . При этом пишут или .

Скалярное произведение двух вектор-столбцов и представимо в виде . При этом . Условие ортогональности векторов имеет вид . Неравенство Коши-Буняковского-Шварца можно представить в виде .

Произведение двух матриц и определено тогда и только тогда, когда размеры матриц согласованы, то есть количество столбцов матрицы равно количеству строк матрицы . Если – матрица размера , а – матрица размера , то произведение этих матриц представляет собой матрицу размера . Элемент матрицы , расположенный на пересечении -той строки и -того столбца, определяется по формуле

.

Это означает, что необходимо найти скалярное произведение -той строки матрицы и -того столбца матрицы , то есть произведение матриц выполняется по правилу «строка на столбец». В частности, всегда можно перемножать квадратные матрицы одинакового размера. В общем случае .

Произведением матрицы на некоторое число называется матрица с элементами .

Определителем квадратной матрицы называется число, обозначаемое и получаемое с помощью арифметических операций над элементами . Если – матрица размера , то

.

Если – матрица размера , то

,

Где называется Минором элемента и представляет собой определитель подматрицы матрицы , полученной путем исключения строки и столбца 1.

Матрица называется Вырожденной или Особенной, если ее определитель равен нулю. Если же определитель не равен нулю, то соответствующая ему матрица называется Невырожденной или Неособенной. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.

Матрица, обратная к невырожденной квадратной матрице , обозначается как и представляет собой невырожденную квадратную матрицу, обладающую свойством . Определитель обратной матрицы .

Операции над матрицами обладают свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , ;

6) ;

7) , ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

Если для квадратной матрицы размера и ненулевого вектор-столбца , выполняется равенство , то число называется собственным значением, а вектор называется собственным вектором матрицы .

В соответствии с -нормой вектора вводится -норма матрицы

,

О которой говорят, что она индуцирована векторной -нормой. В частности, определены максимальная столбцевая норма, максимальная строчная норма и спектральная норма:

, , .

Спектральная норма матрицы равна квадратному корню из максимального собственного значения матрицы .

Последовательность матриц называется сходящейся к матрице , если

.

< Предыдущая		Следующая >