17. Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции

Теорема 3. Пусть - решение уравнения (1). Тогда любое другое решение этого уравнения имеет вид , где - решение уравнения (2), т. е. .

Доказательство. Пусть . Тогда, по лемме 1 (Билет 14), . Таким образом, есть некоторое решение однородного уравнения (2).

Обратно, если и , то и, следовательно, удовлетворяет уравнению (1).

Теорема 3 доказана.

Теорема 4. (Принцип суперпозиции решений). Пусть являются решениями уравнений . Тогда функция удовлетворяет уравнению .

Доказательство. По следствию леммы 1, .

Теорема 4 доказана.

Замечание. Эта теорема служит для нахождения решения уравнения в случае, когда функцию удается представить в виде , где - такие функции, что нам известны решения уравнений .

< Предыдущая		Следующая >