12. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Пример. Разберем пример: .

Решим сначала вспомогательное уравнение . Это – уже знакомое уравнение с разделяющимися переменными, имеющее решение . Для нахождения решения исходного уравнения используем метод Вариации постоянной. Он состоит в следующем. Ищем решение нашего уравнения в виде: , где - некоторая дифференцируемая функция. Тогда и, подставляя в уравнение, получаем: или . Интегрируя, находим: . Тогда . Итак, мы нашли решение исходного уравнения. Других решений у него нет, поскольку выполнены все условия теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши ( - непрерывная функция от , а ее производная по , равная 1, тоже).

В общем случае уравнения , где - непрерывные на функции мы поступаем вполне аналогично. Сначала решаем вспомогательное однородное уравнение: , (мы не рассматриваем решение ), откуда, обозначая любую первообразную для функции , находим, ограничиваясь случаем , для определенности, , или . Далее используем метод вариации постоянных: ищем решение неоднородного уравнения в виде . При этом . Подстановка в уравнение дает или . Интегрируем и, обозначая первообразную для , получаем . Тогда . Эту формулу иногда записывают в виде , понимая под знаком интеграла не все множество первообразных, а одну произвольно выбранную первообразную.

Уравнения, не разрешенные относительно производной. Общее уравнение первого порядка можно пытаться решать разными методами.

Во-первых, можно попытаться все-таки его решить и свести исходное уравнение к одному или нескольким уравнениям вида .

Например, . Уравнение, после преобразования к виду даст равносильную ему совокупность , откуда .

Другой способ – Введение параметра.

Например, уравнение можно решить так: введем параметр . Тогда , откуда . Но и мы приходим к уравнению или . При из этого уравнения получаем . Тогда и мы получаем параметрические уравнения: . В этом случае параметр удается исключить: и - явное решение. В случае из получаем .

Указанный прием применим к Уравнениям Лагранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжа имеет вид , где - дифференцируемые функции. Полагая , получаем . Дифференцируя, получаем: или , откуда . Предполагая, что , получаем уравнение , линейное относительно . Решаем его указанным выше методом и получаем выражение для через и произвольную постоянную . Тогда .

Уравнение Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа: . Вводя параметр , получаем (т. е. , как раз оставшийся случай), или . Тогда, если , то и - это общее решение уравнения Клеро. Если же , то . Тогда .

< Предыдущая		Следующая >