01. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов

 

Пусть - последовательность чисел. Рассмотрим величины (1).

Определение. Если существует , то говорят, что Сходится бесконечный ряд (другое обозначение ) (2) и его сумма равна .

Если же не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) Расходится. Величины называются Частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится Û существует предел его частичных сумм.

Пример. (геометрическая прогрессия). Из элементарной алгебры: . Если , то при и , т. е. ряд сходится. Если , то при и ряд расходится. Если , то ряд имеет вид . и . Если , то . Такая последовательность не имеет предела, так как у нее есть два различных предела ( и 0), а значит общий предел не существует.

Определение. С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида , называемые Остатками ряда .

Утверждение. Ряд (2) сходится Û остаток - сходится.

Доказательство.

сходится Þ сходится . Но - это и есть исходный ряд.

. Ряд сходится Þ существует . Но частичная сумма ряда имеет вид . Величина не зависит от . Кроме того, при . Поэтому существует . Утверждение доказано.

Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.

Теорема. (1).

Примечание. Поскольку (2), неравенство (1) можно заменить на неравенство .

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда).

. Действительно, при получаем неравенство , выполняющееся . Это значит, что . Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд расходится при .

Важный пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.

Пример. Гармонический ряд . , т. е. общий член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует доказать, что .

В качестве выберем число . Берем любое и любое . Пусть . Тогда .

Теорема. Пусть сходятся ряды , и - постоянная величина. Тогда сходятся ряды .

Доказательство. Обозначая частичные суммы , получим, что частичные суммы рядов равны соответственно , и . Эти величины имеют пределы , , . Теорема доказана.

 

 

 

< Предыдущая		Следующая >