12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

(18)

Здесь — известная функция, непрерывная на некотором промежутке.

Согласно теореме о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ общее решение ДУ (18) есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (15) и любого частного решения Неоднородного уравнения (18), т. е.

(19)

Рассмотрим, в каком виде можно искать частное решение ДУ (18), когда правая часть уравнения имеет специальный вид.

Пусть и корни характеристического уравнения (13), а правая часть уравнения имеет вид:

(20)

Где — многочлены от Х степеней N и M соответственно с известными коэффициентами.

Тогда частное решение следует искать в виде:

(21)

Где K — кратность корня характеристического уравнения:

При этом Многочлены от Х степени с
некоторыми, пока неизвестными, коэффициентами. Неизвестные коэффициенты многочленов и находят методом неопределенных коэффициентов.

Пример 2.3. Найти общее решение линейных неоднородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

А) б)

Решение.

А)

Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ:

Характеристическое уравнение:

Поскольку и то общее решение запишем в виде (17), при этом учтем, что

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения

Сравнивая ее с видом (20) заключаем, что Определим параметры частного решения (21). Учитывая, что а получим, что Не является корнем характеристического уравнения, поскольку корни Следовательно, K = 0. Найдем Следовательно, порядок многочленов R и S Равен 0, т. е. R0 = A, а S0 = B, где А и В — некоторые неизвестные пока коэффициенты. Подставив полученные параметры в имеем:

Коэффициенты А и В определим из условия, что функция УЧн — решение уравнения и поэтому должна ему удовлетворять. Найдем и

И подставим в исходное уравнение:

Приравняем коэффициенты при и в правой и левой частях полученного равенства:

Итак,

Тогда согласно (19) общее решение неоднородного ДУ имеет вид:

Б)

Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ:

Характеристическое уравнение:

Найдем его корни по формуле (17):

Поскольку и то общее решение запишем в виде (17):

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения Сравнивая ее с видом (20) заключаем Определим параметры частного решения (21). Учитывая, что а получим, что Однократный корень характеристического уравнения, поскольку корни Следовательно, K = 1. Найдем Следовательно, порядок многочленов R и S равен 1, т. е. а где А, В, С, D — неизвестные коэффициенты. Подставляя полученные параметры в имеем: